第一章 引言无网格方法是近年来兴起的一种新的数值方法。在无网格方法中，研究的问题域由一系列的离散点组成，在进行仿真计算时，只需节点离散数据，而不需要单元信息，只采用基于节点的近似，可以完全抛开网格，克服了有限元法由于有网格的存在而难以方便处理大变形畸变问题、裂纹扩展问题等缺陷。 在无网格方法中，典型的、具有代表性的有以下几种，它们是：(1)光滑质点流体动力学法(Smooth Particle Hydrodynamics，SPH)；(2)模糊单元法(DiffuseElement Method,DEM)；(3)无网格伽辽金法(Element-Free Galerkin(EFG)Method)；(4)无网格局部伽辽金法(Meshless Local Petrov-Galerkin(MLPG)Method,)；(5)再生核质点法(Reproducing Kernel Particle Method，RKPM)；(6)单位分解法(Partitionof Unity Method，PUM)；(7)点插值法PIM(Point Interpolation Method)等等。 再生核质点RKPM法是Liu等人基于再生核(reproducing kernel)思想及小波变换理论提出的一种无网格方法。采用窗口函数和傅立叶变换建立新的形函数，由于窗口函数可以平移、缩放，可以应用于弹性、塑性和动力问题。本文正是利用RKPM方法分析接触碰撞问题。 接触碰撞仿真问题的研究已经有很长的历史了。早期的接触体都是假定一个为刚体另一个为简单的弹性体，分析主要集中于总接触力的计算。牛顿第三定律及库伦定律用于计算接触界面的相互作用力。随着数值科学和工程应用的发展，更精确的接触算法也应运而生。本文提出一种新的从点到面的接触算法来处理无网格接触问题。接触力的计算用的是罚函数法。 积分格式在数值计算中非常重要，它关系到计算精度和CPU耗时。无网格方法最大的缺点是计算时间长。本文提出一种新的积分法则：降阶高斯积分法则，可以大大降低计算时间。博士学位论文:摘要 在数值仿真中，公式及算法的验证也是非常重要的。本文通过提出一个具有一般意义的E七n chn址甘ktest算法来验证本文中运用的降阶高斯积分方案及接触算法在实际应用中的正确性及准确性，二维和三维问题都得到成功的验证。 第2章RRrM法的基本原理 RKpM方法是再生核质点法(斑犷oduc吨K治n岭1 Part记leM剧助d)的缩写。同SPH方法一样，RKPM方法对变量域的近似也是采用积分的形式ur(，)一工u(x)砚(x一y)方。不同于sPH法的是:吩M方法~‘函数中多出了一个修正函数C(x，x一y)，即，砚(l一y)=C仁，x一y)丸(x一y)，修正函数是通过施加再生条件获得的，可以精确的再生多项式。电(x一y)即K淤n姆l函数。由于在构造形函数时施加了再生条件，RKPM法满足一致连续性，这一点是SPH法缺乏的。因此RK卫M法可以看成是利用修正函数恢复连续性的SPH法。类似其他无网格法，RKPM形函数利用离散质点建立插值函数。RKPM方法中的原理及公式的推导在Liu现K，C址n工s，Lis.，Belytscbko等的论文中做了较系统的论叙。在他们的工作的基础上，本章对K即叱l函数汽(l一y)及其支持域，待定系数br(x)的计算等内容都做了详细的介绍和推导。在本文中，x表示一点在t时刻的位置矢量，X表示材料粒子的初始位置矢量。2.1 Ke.el函数及其支持域 问题域由一系列离散点卜:，xZ，…，x，}组成，x，是粒子I的位置矢量，N’P是粒子的总数量。无网格法的一个共同的特征就是它们都含有权函数，也就是K治n粗l函数。任何一种权函数都有一个集中域，在这个域里的函数值是非零值，而集中域以外的函数值为零。这个集中域即前面所讲的支持域或影响域。这里所讲的权函数在小波理论里也称窗函数。120通常使用的支持域为圆形(球形)或矩形(立方形)，如下图所示(a)圆形助矩形图2.1支持域上图中的支持域。;为问题域。的一个子域。根据Monagh川(1 982)，权函数必须满足以下条件:a .bC‘d(2(2(2(21.牙(s)>02.平(s)==.在。:中(正值性)不在。，中(紧凑性) J甲(s)‘一1，(合一性) O 不(s)为单调递减的函数，(递减性) 牙(s)峥6(s)，当峥0时(2 .le)8(s)即de、函数，:={巨二兰业a即支持域的宽度。常见的权函数有:指数权函数二(s)一介一(’/a”，_黔‘1 口，当s>l(2 .2a)一{号一‘·’+‘·’，当·‘全警一‘一‘一警·’，当合二‘，(2 .2b)当s>1121博士学位论文:摘要四次方样条权函数二(·)·}i一‘·’+8·’一，·‘，肖·‘， LO，兰s>l(2 .Ze)2.2 RKPM中的Keruel近似形式SpH方法是最早基于K图凹1近似的无网格方法。u(l)的近似形式是通过对K日比吧1函数的积分得到的，即:u‘(x)一仲。(x一y)u份)方 口‘，____、1_，，}!x一y}}、止_，二‘__，。。__小二‘，~‘，七气x一y)二一尸又一J刀万J二1毋i幽资汉，W林F乙苗工、甲划花K胭如哭。(2 .3)aa(2.3减的离散形式如下 召尸u‘(x)二艺.。(x一x，)u(x，)成 I二t(2，4) 方程俘Ic)的积分形式能够保证零阶连续，然而恤wK氰1卯sc)和氏加毗如氰1更场脂出它并不能保证2.4式的离散形式连续，因此也无法保证问题的收敛性。为了解决这个问题，玩等人(l99阮)在K朗.1