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非线性动力学方程的数值算法研究是计算力学领域中的一个热点问题。众所周知,高维情况下的非线性动力学方程的精确解,一般很难通过解析手段获得,例如,表述复杂温度变化的非线性瞬态热传导方程(实数域内描述热动力学问题)和复杂物理现象的非线性薛定谔方程(复数域内描述量子力学问题)。而目前已有的基于网格类数值方法在求解高维复杂区域的非线性动力学方程时,数值模拟实施过程都比较繁琐。近些年来,光滑粒子动力学(SPH)方法作为一种纯无网格方法以其完全不依赖于网格的优势已被广泛应用于计算力学的各个领域。然而,目前针对高维复杂非线性动力学方程的SPH方法数值研究还很鲜见,且已有的SPH方法存在精度低、稳定性差和计算效率低的不足。鉴于此,本文首先从提高传统SPH方法求解高阶导数的偏微分方程的精度和改善其稳定性出发,基于Taylor级数展开和稳定化“迎风”思想建立了不含高阶核导数计算的修正SPH方法;其次,针对三维变系数瞬态热传导问题的求解,拓展应用修正SPH方法,基于MPI并行计算技术,提出了较传统SPH方法求解三维复杂问题具有较高精度和较好稳定性的三维修正并行SPH(CPSPH-3D)方法;再次,将上述CPSPH方法拓展应用到复数域上非线性薛定谔方程的求解时,结合二阶精度的分裂格式思想,给出一种快速准确求解高维非线性薛定谔方程的分裂修正并行SPH(SS-CPSPH)方法;最后,运用上述SS-CPSPH方法对二维和三维非线性薛定谔方程进行了模拟研究。本文主要工作如下:(1)为提高传统SPH方法求解偏微分方程的精度,引入基于Taylor展开的一阶修正SPH方法,为改善其稳定性,引入稳定化“迎风”思想,给出了一种不含高阶核导数计算的修正SPH方法。通过对带有精确解的热传导方程的数值求解,验证了提出的修正SPH方法具有二阶精度和较好数值稳定性,数值结果表明:与传统SPH方法相比,提出的修正SPH方法具有更高精度、更快收敛速度和更好数值稳定性。(2)将上述修正SPH方法拓展到三维变系数瞬态热传导问题的求解,为提高计算效率,结合SPH方法容易并行编程的特点和基于MPI并行计算技术,给出了一种三维修正并行SPH(CPSPH-3D)方法。随后,对带有精确解的不同边界条件下瞬态变系数热传导方程进行了求解,且对采用不同CPU个数下的计算效率进行了比较研究,数值结果表明:CPSPH-3D方法能够准确、高效地求解具有Dirichlet或Neumann边界的变系数热传导问题;CPSPH-3D方法求解三维方程时具有近似二阶精度、较好收敛性和稳定性;基于MPI并行计算技术,在粒子数加密情况下通过增加CPU个数可以明显地提高计算效率。(3)运用上述提出的CPSPH-3D方法对三维非均匀梯度功能材料的传热过程进行了模拟预测,并与网格类方法的结果作比较,结果表明:本文提出的CPSPH-3D方法对无解析解混合边界下三维变系数瞬态热传导问题的模拟是稳定可靠的,且具有较好收敛性;采用CPSPH-3D方法准确预测了三维功能梯度材料中不同参数影响下温度随时间的演化过程。(4)运用上述修正并行SPH方法直接求解复数域内非线性薛定谔方程时,由于非线性项和源项的同时存在,长时间模拟中易出现数值不稳定。因此,引入分裂格式思想,将上述修正SPH方法与分裂格式相结合,给出了一种适合非线性薛定谔方程高效求解的基于分裂格式的修正并行SPH(SS-CPSPH)方法。随后,针对几种非线性薛定谔方程进行了数值研究,并与可靠值作比较,且展现了不同CPU个数下的计算效率。数值结果验证了提出的SS-CPSPH方法能够准确高效地求解高维非线性薛定谔方程,且具有二阶精度和较好收敛性。