本博士论文首先简述了其所属学科的发展历程和研究现状，主要的代表人物以及我国数学家的工作；接着重点研究了几何分析中关于凸体的两个著名问题：Schneider投影问题和关于迷向体的Bourgain问题；然后探讨了混合投影体极体的极值性质和Pythagroras型不等式在John基上的情形；最后考察了多个凸体或星体间的“相似”度量问题与一个单形的“偏正”度量问题，并获得了几个经典几何不等式的稳定性定理。 作者取得的主要创新成果是： （1） 对Schneider投影问题取得了实质性突破。为了研究著名的Schneider投影问题，2001年，E．Lutwak，D．Yang和张高勇在Rⁿ中引进了关于多胞形一个新的仿射不变量，从而把对Schneider投影问题的研究转化为这个新的仿射不变量的研究。而对于一个原点对称的多胞形，他们提出了一个关于这个新的仿射不变量的猜想（公开问题）。作者对此公开问题在n=2，3时分别用几何方法和重排技巧给出了严格的数学证明，对Rⁿ中的情形给出了一个递推公式并用计算机进行了数值验证。从而对Schneider投影问题的研究取得了实质性突破（著名数学家E．Lutwak的评价）。 （2） 部分解决了Bourgain问题。一个关于迷向体的被称为Bourgain问题的未被解决的重要问题是：是否存在通用常数c，使得L_K＜c对任意有限维任意凸体都成立?此问题目前最好的估计是最近由J．Bourgain证明的L_K＜cn^1／4log n。作者利用球截面函数（作者首次引进）的方法，证明了若K是一个质心在原点体积为1，且满足r₁B₂ⁿ（?）K（?）r₂B₂ⁿ(r₁≥1／2，r₂≤(n^1／2)／2)的凸体，则(1／(（2πe）^1／2))≤L_K≤(1／(2(3^1／2)))，且左边的等号成立当且仅当K是一个质心在原点体积为1的椭球，右边的等号成立当且仅当K是一个质心在原点体积为1的超立方体或它的正交变换象。从而部分解决了Bourgain问题。 （3） 获得了John基上的一组Pythagroras型不等式。1960年W．J．Firey在标准正交基上建立了一组关于凸体混合体积的Pythagroras型不等式，作者把这组不等式推广到了John基上，得到了John基上关于凸体的一组Pythagroras型不等式。 （4） 获得了对偶Aleksandrow-Fenchel不等式的一个新的稳定性版本。对著名的对偶Aleksandrow-Fenchel不等式，Gardner和Vassallo在1999年建立了一个稳定性版本，在Gardner和Vassallo工作的基础上，作者引进了多个几何体（主要是凸体和星体）的相似“偏差”的度量概念，并利用H（o|¨）lder不等式的一个加强形式获得了另一个更为简洁的稳定性版本. （5）获得了Euler不等式与wei七zenb石ck不等式的稳定性版本.因为一个单形的支撑函数或径向函数的表达式很难找到，一般很难用Hau吕dorff度量或径向度量来度量两个单形的“偏差”，而单形的棱长在确定单形时发挥决定性作用，作者利用棱长引进了单形“偏正”度量的概念，从而获得了关于单形的Euler不等式与weitzenb石ck不等式的稳定性版本.