随着现代科学技术的飞速发展,三维几何数据在当今社会得到了广泛的应用。3D几何模型通常表示为三角网格(triangular mesh or manifold triangulations)。三角网格参数化是数字几何处理和计算机图形学中基本和重要的问题,有很多非常重要的应用,如纹理映射,网格变形,网格重构,网格压缩以及曲面拟合等。三角网格的参数化可看作从网格到合适参数域的一对一映射。一般来说,平面和球面在许多应用中被用作为参数域。理想情况下,三角网格的参数域的映射应该是保形的(isometric),即保角度(conformal)和距离(equalarea)。但是,除了可扩展曲面,一般网格不可能存在保形映射。因而参数化过程必然产生扭曲,实际上,三角网格参数化研究就是尽可能构造可逆映射,且具有尽可能少的扭曲。本论文主要研究了三角网格的参数化问题,其主要工作包含：·研究了圆盘同胚的三角网格的参数化,提出了一种简单的初始参数化方法。首先,提出了一种简单而且快速的分割方法(局部角度最小的方法),去剖分三角网格成一些小曲面片,其包含三个或者四个边界曲线；然后用混合插值方法去获得每个曲面的参数,从而获得整个三角曲面的参数化。由于许多存在参数化方法需要求解线性或者非线性方程,特别对于复杂度很大的三角模型,我们提出参数化方法获得的参数化可以用作为初始参数化,应用到这些存在的参数化方法中。·针对三角网格的球面参数化,我们提出了一种基于最小化球面能量函数方法。此方法具有以下特征：1)基于某种球面能量函数的优化方法,如Dirichlet能量，MIPS能量,混合能量(combined energy)和stretch函数等,保证了获得参数化整体和局部上具有很少的扭曲。2)因为球面参数化是一个非线性映射,计算这些非线性映射的球面能量函数很困难,计算量很大,为了快速而且容易地计算这些球面能量函数,采用线性映射的能量函数去近似非线性的能量函数,其近似误差由一个控制系数决定,而且采用细分的方法保证其误差在控制范围内。最后我们采用简单的Nelder-Mead单纯形法去求解这个非线性优化问题。大量数值试验也显示此方法得到的参数化是可逆,且整体和局部上具有有很少的扭曲。·针对高亏格曲面上的几何处理,如参数化,NURBS曲面构造等,我们提出了一个亏格g>0其复杂度为n曲面M上构造紧正交同调基的算法,不仅从理论证明其可行性,而且证明了该算法的计算复杂度为O(g3nlogn)。紧正交同调基是2g个环道的集合{αi,i=1,…,2g},且有下面性质：1)任意两个相邻的环道仅有一个交叉点；2)任意两个非相邻的环道没有交叉点；3)每个环道在与它同伦的群中是最短的环道。