在过去的几十年中,随着粘弹性材料在机械、化工、建筑、交通和信息等领域的广泛应用,具有粘弹性的弹性结构的动态行为和振动控制已经引起工程界和学术界的密切关注.因为温度是影响材料粘弹性性质的重要参数之一,所以我们得到的数学模型往往是热传导方程和热弹性方程耦合在一起的无穷维混合系统.20世纪60年代以来,以粘弹性阻尼材料为基础的阻尼减振技术得到了长足的发展,它已广泛应用于各种军事、航天航空、舰船等的振动控制及噪声控制.因此,带有阻尼的无穷维耦合系统的镇定与控制研究具有重要的理论指导意义.本文借助算子半群理论和渐近分析的技巧,运用谱分析方法和Riesz基途径研究一类带有阻尼的无穷维耦合系统的动态行为,特别是指数稳定性问题.无穷维耦合系统是指由泛函微分方程组或偏微分方程组所描述的系统,是一种典型的分布参数系统.根据研究内容和研究思路,论文分为三部分内容：第一部分,即第二章,研究一类单个带有粘弹性阻尼和粘性阻尼的波方程的动态行为问题;第二部分包括第三章至第五章,研究一类PDE-PDE无穷维耦合系统的Riesz基性质及指数稳定问题;第三部分是第六章,研究一类PDE-ODE无穷维耦合系统的边界反馈控制和指数镇定问题.本文具体内容如下：第一章介绍了在材料学中占有重要地位的,粘弹性理论、热粘弹性理论和热弹性理论;并介绍了本文的结构、主要结果以及后面各章中要用到的基本概念和定理等预备知识.第二章研究单个带有Boltzmann粘弹性阻尼和粘性摩擦阻尼的一维波动方程的谱分析和指数稳定性问题.首先,通过引入N个新的变量,把时变系统转化为时不变的,然后,定义一个无界算子将得到的系统表示为状态空间上的抽象发展方程的形式,并利用相关泛函分析知识证明系统的适定性.其次,采用渐近分析的技巧给出了振动频率的渐近表达式.最后,验证系统的Riesz基性质成立,进而得出系统的指数稳定性,这说明此振动系统的动力学特性完全由振动频率决定.这一结果表明粘弹性阻尼的耗散性使系统指数衰减.第三章研究一维具有Dirichlet-Dirichlet边界条件的热粘弹性系统：该系统用来描述一个受温度影响的粘弹性杆(或棒)的形变行为.杆的形变与温度之间相互作用和相互影响,因此热传导方程和热弹性方程不是独立的,而是耦合在一起的混合系统.它等价于如下带有粘弹性阻尼的双曲-抛物型无穷维耦合系统：借助算子半群理论和谱分析方法,我们给出了系统的适定性,讨论了系统算子谱的渐近分布,验证了该耦合系统的Riesz基性质.因此谱确定增长条件成立,从而得到当参数满足k≠μ时系统的指数稳定性.结果表明：该耦合系统中热传导和粘弹性阻尼都具有耗散性,这两个耗散性不仅使得系统在无外加能源的条件下指数镇定,而且使系统所生成的半群是解析的,也就是说,当k≠μ时,我们可以把带有热粘弹性阻尼的整个系统看作是它自身的动态控制器.第四章是在第三章的基础上将热传导方程中的高阶项用含有高阶项的Boltzmann阻尼来代替,通过引入新的变量将原系统转化为下面的PDE-PDE无穷维耦合系统：利用算子半群理论和谱分析方法,我们分析了系统算子的适定性和谱在复平面上的分布,证明了其Riesz基性质,从而得到系统的指数稳定性.同样地,该系统也可看作是它本身的动态控制器.值得注意的是,热传导方程中的改变减弱了耗散性,使得相应的半群性质也减弱,不再解析.第五章研究第Ⅲ类型的热弹性无穷维耦合系统的动态行为.这里,热传导方程是双曲型的,而不是经典热弹性理论中的抛物型方程.也就是说,第Ⅲ类型热弹性理论以一种更合理的方式给出了与实际情况完全一致的解释：热以有限速度传播.相对于传统热传导理论中热的传播速度是无穷大这种非物理假设来说,这是一种提升和推广.在数学上,第Ⅲ类型热弹性理论中,热的传播可以用一个带有K-V阻尼的波动方程来表示.在本章中,利用谱分析方法和渐近分析的技巧,我们给出了特征值和特征函数的渐近表达式,验证了系统的Riesz基性质,进而得到了系统的指数稳定性.理论研究和数值模拟结果表明,仅由热传导方程产生的耗散性可以指数镇定整个系统,即,我们可以把带有K-V阻尼的热传导方程看作整个系统的动态控制器.第六章采用Riesz基方法研究如下Euler-Bernoulli Beam-ODE无穷维耦合系统的反馈控制和指数镇定问题.其中,梁的四阶偏微分方程可以看作是控制器,受控ODE系统通过梁方程的边界输出与PDE系统耦合在一起.首先,利用谱分析方法给出系统算子的特征值和特征函数的渐近表达式;然后证明存在一列广义特征函数构成状态空间的一组Riesz基,因此系统的谱确定增长条件成立,从而系统是指数稳定的.