本文主要研究了单位球面上极值子流形的特征值与刚性问题.　　 设Mn是单位球面Sn+p中的闭子流形，若x∶Mn→Sn+p(1)使得泛函F(x)(见(1.19)式）取得临界值，则称M为极值子流形.1968年，J.Simons[14]研究了单位球面Sn+p(1)中的n维紧致的极小子流形的几何分类，并且证明了著名的Simons刚性定理.1970年，Chern-do Carmo-Kobayashi[22]进一步给出了在拼挤条件S≤n/2-1/p下，Sn+p(1)中的n维紧致极小子流形Mn的几何分类.2007年，郭震和李海中[4]给出了极值子流形在拼挤条件p2≤n/2-1/p下的刚性定理.2011年，杨登允[5]研究了Willmore子流形和Willmore超曲面的特征值及刚性定理，受他们的启发，本文的第一部分，研究了极值子流形的第一特征值，通过选取适当的特征函数来估计薛定谔算子L=-Δ-(2-1/p)ρ2的第一特征值μ1及其上界，并且从特征值的角度给出了一些子流形的特征.　　 1989年，沈纯理[13]研究了单位球面上极小超曲面在整体拼挤条件下的拼挤定理.2011年，杨登允[20]研究了单位球面上极值子流形的的间隙问题.受他们的启发，本文的第二部分通过利用P.Li得出的Sobolev不等式(2.2)，得到了紧致极值子流形另一种形式的整体拼挤下的刚性定理，其中拼挤常数只与n,p和M有关.