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上世纪二十年代,芬兰数学家R.Nevanlinna建立了该世纪最为重要的数学理论之一,即复平面C上的亚纯函数值分布理论[10,30](即Nevanlinna理论),以两个基本定理为核心内容,即Nevanlinna第一及第二基本定理.该理论自确立后不断自我完善和发展,同时广泛的应用到其他的复分析领域,如亚纯函数的唯-性理论,复微分及差分方程理论,正规族理论,多复变理论等.
复平面C上的亚纯函数唯-性理论[10,41]是伴随着Nevanlinna理论的发展而出现的.R.Nevanlinna首先给出了著名的Nevanlinna五值(四值)定理,即两个亚纯函数如果分担扩充复平面上的五个(四个)判别的值,则他们相等(互为线性变换).这两个定理是亚纯函数唯一性理论研究的起点,随后国内外众多数学家和学者致力于此领域的研究,取得了丰硕的研究成果.经过几十年的发展,逐渐形成了亚纯函数唯-性理论.
复差分方面的Nevanlinna理论是最近才确立的.其中,最关键的结果是差分对数导数引理,Halburd-Korhonen[28]和Chiang-Feng[25]给出了这个引理的两种表达形式.Halburd-Korhonen[26]在差分算子的基础上建立了Nevanlirma理论.Ishizaki-Yanagihara[31]研究了差分方程慢增长的解的性质,并且给出了在微分方程中著名的Wiman-Valiron理论的差分定理.Bergweiler和Langley[24]研究了慢增长的亚纯函数的差分算子的值分布论.
本文主要包括作者在导师杨连中教授的指导下得到的关于亚纯函数及其微分、q差分多项式的唯-性理论的几个结果.论文的结构如下安排:
第一章概述了本文的研究背景,R.Nevanlinna基本的理论,以及后面两章中用到的唯-性的结论和一些记号.
第二章主要研究了亚纯函数及其微分多项式分担小函数的唯-性问题,推广并改进了I.Lahiri,张庆彩等人的结果,主要结果如下:
定理1.设f是一个非常数亚纯函数,Q[f]是一个非常数微分多项式,次数是d,权是Г.设a(z)是f的小函数,且a(z)≠0,∞.假设f-a和Q[f]-a分担(0,l)且(n-1)d≤∑nj=1dMj,则以下假设之一成立时,Q[f]-a/f-a=C(其中C是非零常数).
(1)l≥2且2-N(r,f)+N2(r,1/Q)+N2(r,1/(f/a))＜(λ+o(1))T(r,Q),
(2)l=1且2-N(r,f)+N2(r,1/Q)+2-N(r,1/(f/a))＜(λ+o(1))T(r,Q),
(3)l=o且4-N(r,f)+3N2(r,1/Q)+2-N(r,1/(f/a))＜(λ+o(1))T(r,Q).
其中r∈I,0＜λ＜1且I是一个线性测度无穷的集合.
第三章主要研究了零级亚纯函数及其q差分多项式分担小函数的唯一性问题,得到的主要结果如下:
定理2.设f(z)为零级超越整函数,a(z)∈S(r,f),q为非零复数,n为正整数,则在对数密度为1的集上,当m(P)＞0时,P(f)f(qz)-a(z)有无穷多个零点.
定理3.设f(z)和9(z)为两个零级超越整函数,q为非零复数,a(z)是f(z)和g(z)的小函数.如果n≥5s(P)+7m(P)+5,s(p)+m(p)≥2,且P(f)f(qz)与P(g)g(qz)IM分担a(名),则在对数密度为1的集上,下列结论之一成立:
(1)f≡tg,其中t为常数满足td=1,d=(i+1...,k,...,n+1)(ak≠0),ai是从右边数第一个非零系数.
(2)f,g满足代数方程P(f)f(qz)-P(g)g(qz)≡0.
推论1.设f(z)和g(z)为两个零级超越整函数,q为非零复数,a(z)是f(z)和g(z)的小函数.如果n≥4m+12,且f(z)n(f(z)m-1)f(qz)与g(z)n(g(z)m-1)g(qz)IM分担a(z),则在对数密度为1的集上,f≡tg,其中t为常数满足tm=tn+1=1.
定理4.设f是一个零级非常数亚纯函数,|q|(＞1)为非零复数,且F=P(f).如果F(z)与F(qz)分担a(z)∈S(r,f){0}和∞CM,则当n≥3(s(P)+m(P))+1时,下列结论之一成立:
(1)f(qz)三ωf(z),其中ω为常数满足ωd=1,d=(i+1,...,k,...,n+1)(ak≠0),ai是从右边数第一个非零系数.
(2)f满足代数方程P(f(z))≡P(f(gz)).
推论2.设f是一个零级非常数整函数,|g|(＞1)为非零复数,且F=P(f).如果F(z)与F(qz)分担a(z)∈S(r,f){0}和∞CM,则当n≥2(s(P)+m(P))+1时,下列结论之一成立。
(1)f(qz)三ωf(z),其中ω为常数满足ωd=1,d=(i+1,...,k,...,n+1)(ak≠0),ai是从右边数第一个非零系数.
(2)f满足代数方程P(f(z))≡P(f(qz)).