量子信息科学是利用量子力学系统来进行信息处理任务的学科,它结合了20世纪最伟大的两项科学成就-量子力学和信息科学,在最近的20多年中获得了快速发展。量子信息论是量子信息科学中最重要的研究方向之一,它所关心的主要问题是：如何有效利用有限的物理资源来完成尽可能多的信息处理任务,它可以告诉我们,什么样的量子信息处理任务是能够实现的,什么样的目标是不可能实现的,因此量子信息论对量子信息科学的发展具有重要的指导作用。众所周知,要从量子系统中获取信息就必须对它进行测量,投影测量是量子测量中最重要的一种。量子测量与经典测量的主要区别在于量子测量有可能会破坏系统的初始状态,在获取信息的同时也会破坏信息,这是由量子力学的非对易性所决定的。尽管如此,如果测量系统与被测系统相干程度较轻的话,仍然可以在基本不破坏系统状态的同时获取某些信息,这就引出了两个有趣的问题：第一,在某些情形中,需要进行一系列的连续测量才能获得所需要的信息,虽然单次测量对初始状态造成的扰动很小,但是随着测量次数的增加,对系统的干扰会逐渐积累直至彻底破坏初始状态,因此,一个自然的问题就是如何估算系统干扰的积累程度或者说在系统状态被彻底破坏之前能够进行多少次测量。进一步的,由于每一次测量都会以一定概率给出一个结果,因此连续测量后会概率性的得到一串结果序列,那么应该如何估算特定结果序列的出现概率?第二,量子典型子空间投影是一种常用的弱测量形式,它在量子信息论中应用非常广泛。在以往的研究中,典型子空间主要是以代数形式出现,它是否有直观的几何解释?如果能够给出典型子空间的几何图景,那么将非常有助于量子信息论的发展。本文主要围绕以上两个问题展开论述,所取得的主要研究成果可以总结如下：1.给出了投影测量的三角化表示,指出任意量子态都可以利用二元投影算子进行分解,初始状态与测量后状态之间的迹距离以及测量结果出现的概率都可以用三角函数来表示,这暗示出Bloch球实际上与二元投影测量相对应。2.利用投影测量的三角化表示,对连续投影测量进行了一般性分析,给出了经过m次投影测量后的系统状态ρm与初始状态ρ之间的迹距离D(ρ,ρm)的上届,还给出了特定结果ρm出现概率的下界。这两种界很好的回答了以上所提出的第一个问题,并为量子信息论的研究提供了有力的数学工具。3.基于连续投影测量的一般性分析,提出一种Holevo界可达性的新的证明：接收者可以通过执行一系列的二元投影测量来逐个分辨所接收的到底是哪一个码字。当编码速率不超过Holevo界时,这种解码策略的误码概率随序列长度n的增大而趋于零。4.给出了连续一般性测量的一种等价模型：通过引入附加系统的方式,任意的连续测量都对应着联合系统上的一组连续投影测量。5.给出了典型子空间投影的几何化解释：当两个量子态ρ和ρ’可以用投影测量相联系时,它们的典型子空间有渐进包含的关系。这种关系说明,典型子空间对应着Bloch球中的一个截平面。还证明了典型子空间投影测量对任意的ρ(?)n都是非破坏性测量,并可以分辨ρ是否在相应的截平面上。6.利用典型子空间投影测量的几何解释及非破坏性,给出了一种估算未知密度算子的本征向量的方法。由于密度算子的本征向量仅由Bloch球中的两个平面所决定,可以通过一系列的连续投影测量,找到这两个平面的取向,再通过简单几何运算即可得到本征向量的估计。7.将经典熵典型集的概念推广到量子情形,给出了量子熵典型子空间的定义,并证明了其性质。证明了熵较小的典型子空间会被熵较大的典型子空间所渐进包含,利用这种关系,给出了一种量子通用信源编码方案,能够在仅知信源熵不超过h的条件下,对量子信源进行可靠压缩编码。