近年来拓扑绝缘体、Weyl semimetal等一系列拓扑非平凡的物态是凝聚态物理研究的热点,对拓扑绝缘体以及Weyl semimetal的研究大大地加深了人们对凝聚态物理的理解,揭示了凝聚态物理与高能物理的联系。这篇博士论文除了介绍拓扑绝缘体、Weyl semimetal的基本物理外,主要包含以下几方面内容：(1)我们研究了由于周期势的引入使得体内能带陈数(TKNN不变量)分裂的物理,揭示了原来能带的陈数与分裂后子能带的陈数之间的关系。在此之前,人们只知道子能带的陈数之和必然等于原来的陈数,却不能精确的知道具体每一个子能带的陈数。在这项工作中,我们发现对于最一般的情况,任意一能带被分裂成两个能带的情形,子能带的陈数不仅与原来能带的陈数相关,还由周期势的相位因子绕着新的布里渊区的环路积分决定。(2)论文系统的介绍了Weyl semimetal这一拓扑非平凡的半金属的实验与理论研究背景,以及一些基本的物理性质。Weyl semimetal是一种三维拓扑非平凡的半金属。其体内有偶数个在动量能量空间中分开的、带有手征性的Weyl点,在每一个Weyl点上,Berry curvature变成奇点,类似于动量空间磁单极。Weyl semimetal有着无能隙的表面态,且连接于体内的Weyl点。电场在Weyl semimetal中会产生反常霍尔效应AHE,而磁场却可以产生不寻常的手征磁效应CME,这两种效应都可以从其电磁响应的有效作用量中而得到。(3)弹性响应,与电磁响应类似,也是一种可以用来体现拓扑非平凡物理的响应。论文中我们研究了三维Weyl semimetal中的反常弹性响应。我们通过应用Fujikawa手征反常中路径积分的方法得到带有θ项与NY项的有效作用量,并且发现Weyl semimetal材料中存在由位错dislocations而导致的反常动量流,并讨论其物理意义及其应用。(4)论文中,我们首次通过精确对角化的方法,在一般的Weyl semimetal格点模型中,发现手征磁效应所预言的反常电流,其由磁场引起且与磁场的方向相同。我们验证这种反常电流不会随着体系温度、尺寸、化学势的改变而消失,是一种拓扑效应。我们证明了在零温极限下,只有费米面上的电子才对电流有贡献。在外磁场很弱的情况下,我们发现反常电流跟磁场强度、△E有着严格的正比关系,且比例系数为e2/h2,与线性响应理论得到的结果完全一致。在此基础上,我们对存在的原因与理论基础进行了分析与讨论。