本文旨在研究广义二项指数和的四次均值与Dirichlet L-函数的平方均值.众所周知指数和与Dirichlet L-函数对于解析数论的研究很重要,研究Dirichlet L-函数均值性质对于分析复变函数L(s,χ)的解析性质意义巨大.同时,作为指数和的应用,本文研究了某些二次对角同余方程解的个数.更确切地说,本文的主要内容及成果可归纳为以下几点:1.广义二项指数和G(m,n,k,h,χ;q)是重要的指数和之一.广义二项指数和G(m,n,k,h,χ;q)具有很多好的性质,如|G(m,n,k,h,χ;q)|是关于变元q的可乘函数.第二章中,在整数n和奇素数p满足(3,p-1)=1,(n,p)=1的情况下,我们给出了广义二项指数和四次均值(?)的确切计算公式.在研究过程中使用了包括指数和经典处理方法在内的的解析方法和经典Gauss和的性质,模p特征的正交性、模p既约剩余系的性质等初等数论的结果及结论.2.在第三章,我们讨论了以二次Gauss和作为系数的Dirichlet L-函数的二次均值.换言之,在奇素数p和两正整数α,n满足p≡3 mod 4,(n,p)=1,α≥2的情况下,对于下述和式:(?)我们运用解析方法与Gauss和性质获得了它们的精确计算公式,其中(?)*表示对模p~α的所有本原奇特征求和.这些结果能够帮助我们了解Dirichlet L-函数L(s,χ)与广义二次Gauss和G(n,χ~2;q)之间的联系.3.在第四章,我们研究了和式(?)的计算问题,其中χ6是模6 的奇特征.当 3 是满足(q,6)=1,{d:d ∈ N+,d|q}(?){6h+1:h ∈ Z}的整数或q是满足p≡-1 mod 6的奇素数p时,作者使用Dedekind和的互反公式、Dedekind和的函数性质及Mobius反转公式对q的两种情况分别给出了和式(?)的确切计算公式.在本章中,我们实际上研究了一类特殊类型的Dirichlet L-函数平方均值.4.在第五章,作为指数和的应用,我们研究了以下对角同余方程:(?)其中θ1…,θs,∈ Z,n∈ N+.首先,我们解决了杨全会和汤敏提出的一个猜想.具体地讲我们使用同余理论及指数和的一系列计算技巧得到了表达下述同余方程解数的确切计算公式:(?)其次,通过集合划分方法与已得到的关于(?)的表达式,我们得到了下述同余方程解数的精确计算公式:(?)我们得到的以上这些结论建立了某些对角同余方程解数与Legendre符号之间的联系.