众所周知,Gauss超几何函数F(a,b;c;x)在特殊函数中有着十分重要的地位,因为许多其他特殊函数都是它的特殊情形。另一方面,在研究特殊函数分析性质中,Ramanujan常数R(a)又经常会用到。本文通过深入研究Gauss超几何函数F(a,b;c;x)及其相关特殊函数的分析性质,建立了相应的不等式。利用这些结果,获得了显式拟共形Schwarz引理和(广义)Ramanujan模方程解的新估计。此外,还研究了广义椭圆积分的H(o)lder平均不等式。　　 本论文由以下五章组成:　　 第一章,主要介绍了Gauss超几何函数F(a,b;c;x)等一些相关特殊函数和Ramanujan模方程的发展历史和研究现状,并引入本文所用到的一些符号。　　 第二章,通过研究Ramanujan常数R(a)与某些初等函数的组合的单调性和凹凸性,获得R(a)的一些新的性质和不等式。　　 第三章,主要研究了Gauss超几何函数F(a,b;c;x)关于参数的扰动性质和广义椭圆积分κ(r)、εa(r)与一些初等函数的组合的性质,把完全椭圆积分κ=(r)与ε(r)的一些已知性质推广到κa(r)与εa(r),并将某些结果推广到零平衡超几何函数。　　 第四章,研究了第一类椭圆积分κ(r)的由正弦和余弦函数给出的上下界与Hǖbner上界函数的一种估计。而且,运用这些结果获得了在拟共形理论等邻域中有着重要地位的Hersch-Pfluger偏差函数(Ψ)κ(r)的一类估计。　　 第五章,研究了广义椭圆积分的H(o)lder平均不等式,得到了第一和第二类广义椭圆积分κa(r)、εa(r)的p次H(o)lder凹凸性。