如果将k连通图G中的一条边收缩之后所得到的图仍然是k连通图，则称这条边为G的k可收缩边，简称可收缩边.否则称为不可收缩边.如果k连通图中存在可收缩边，则可使用归纳法去证明k连通图的某些性质，因此研究图的可收缩边是很有意义的.在k连通图中，若边 xy在一个三角形xyz上，d(x)=k，易见xy不是可收缩边，图中这样的不可收缩边称为平凡的不可收缩边 1961年，Tutte在([1])中证明了阶至少是5的3连通图有可收缩.边于k≥4，Thomassen在([2])中证明了存在无限多个k连通k正则图不含k可收缩边.为得到k连通图中存在可收缩边的条件，人人们引进了收缩临界k连通图的概念.一个不是完全图的k连通图称为收缩临界k连通图，如果它的每一条边都不可收缩容易看出收缩临界k连通图的每一个性质的否定都是k连通图中存在可收缩边的充分条件不难证明没有收缩临界1或2连通图，山Tutte上述证明的结论知也无收缩临界3连通图.收缩临界4连通图已被Fontet([3])与Mortonov([4])独立地完全刻而：若G是一个没有可收缩边的4连通图，则G或者是一个圈的平方，或者是一个圈4连通3正则图的线图.刻而收缩临界5连通图要比刻而收缩临界4连通图凼难得多，迄今还没有满意的结果，更不用说刻而一般的收缩临界k连通图了.当前研究k连通图的可收缩边的一个重要内容是研究收缩临界k连通图的性质，由此给出k连通图中存在可收缩边的一些充分条件： 1981年，Thomassen在([12])中证明了如下定理： 定理A 设G是一个不含可收缩边的k连通图，则G一定含有三角形K3 即，若k连通图G不含三角形，则G中存在k可收缩边，Egaw a 等在([5])中计算了无三角形的k连通图中可收缩边的条数，他证叫了： 定理B 每一个无三角形的k连通图G，至少有min{|V(G)|+2/3K2-3k，|E(G)|}条可收缩边 定理B说明了无三角形的k连通图有相当多的可收缩边.用无三角形的条件来限制收缩边存在的条件似乎太强了. Egowo在([6])中研究了k连通图中含有可收缩边的最小度条件，证明了如下定理： 定理c 设k≥2是一个整数，设G是一个k连通图，6(G)≥[5K/4]，则G有一条k可收缩边.除非2≤k≤3，上_GH构于Kowarabayashid ([7])中证明了： 若一个图G没有了图同构于图H，我们称G是H-free图.K-4表示从K4=中移去一条边后所得到的图，Kowar abaya shi 在([7])中证明了： 定理D([7]) 设k≥3为奇数，若G为不含K的k连通图，则G中有可收缩边 李向軍等对K free k连通图作了进一步的研究，在([8])中得到了K-4 free k连通图中可收缩边条数的一个下界： 定理E ([8]) k≥5为奇数，G为K free k连通图，则G有k+1条可收缩边 三角形在可收缩边的研究中扮演了一个重要角色 MoJJer在(19中证明了收缩临界k连通图中含有很多三角形，他得到了： 定理F ([9]) 设G是一个收缩临界k连通图，则G 中至少有|V(G)|/3个三角形 而最近Kriese肌在([10])中改进了M ader 的结果，他证明了收缩临界k连通图中至少有()个三角形 一个boruustie 是指一个山两个恰有一个公共顶点的三角形构成的图形，最近Ando等人在([11])中得到如下结果： 定理G 设k≥4是一个整数，若一个k连通图G中没有可收缩边，则G中含有boutie 即，若一个k(k≥4)连通图G中不含boutie，则G中含有可收缩边。 通过仔细考察bcnutie free k连通图，我们在本文第一章中得到如下定理： 定理1 设G是无boutie 作为了图，也无H图作为导出了图的k连通图，则G中至少有k条可收缩边(k ≥4) (图H=kKl+K2-{uy,vx)+[xy]其中K2=uv，x,y∈(kK1)，即H中有一个圈，该圈恰有一条边在k 2个三角形上) 我们给出了一个例了，说明定理中的k这个下界是一个较好的下界 定理2 设G是无boutie，也无(k-2)K1+K2的k连通图，则G中至少有2k条可收缩边(k≥4) 本文第二章讨论极小k连通图中含有可收缩边的禁用了图条件设G是k(>2)连通图，若对任意一条边e∈E(G)都有G e不再K连通，则称G为一个极小k连通图.对k连通图G，如果G不是极小k连通图，我们可以在保持k连通性的前提下，通过去掉图G中的一些边，直到所得到的图是极小k连通的，因此每个k连通图中都有一个极小k连通了图。显然如果G是H free，则它的任意一个了图也是H-free的，另一方面，如果G的k连通了图含有可收缩边e，那么e也是G的可收缩边。 因此讨论极小k连通图中存在可收缩边的条什是有意义的。 Ando等在([12])中得到了下面的结论： 定理H 设G是一个极小k (k≥5)连通图，不含K1+C4， 任意一个k度点x∈V(G)，E(x)中有一条边不含在任们三角形中，则G中有一条k可收缩边 对极小k连通图中的可收缩边，齐恩风等在([13])中证明了，在k≥8时，若极小k连通图G中不含P=K1+2p3，如果G中任-k度点x，都存在与x关联的不在三角形中的边，那么G中有k可收缩边 考察K1+G4，不难发现，K1+C4b即为 ps+2K1我们在第二章中得到了下面的结论： 定理3 若极小k (K≥5)连通图 G中不含Ps+3Ki，G中任意一个k度点x∈V(G)，E(x)中有一条边不含在任任何三角形中，则G中有一条k可收缩边 我们构造了一个5正则5连通图，含有K1+C4，但不含p3+3Ki每个5度点关联一条不在三角形上的边，符合定理3的条件，但不满足定理H的条件，而容易验证，图G中有可收缩边.从这个例了可以看出，用定理3中的条件来限制可收缩边的存在比用定理H中的条件要好些山定理3，我们自然想进一步推广定理3，我们得到了下面的结论： 定理4 设G是不含P3+tK1 的极小k连通图，G中任意一个k度点x∈V(G)，E(x)中有一条不在三角形中的边，则与k≥4t-1时,G有可收缩边(t≥4)。