高斯的《算术研究》是数学史上一部经典的著作,不仅是因为它的诞生标志着数论成为一门系统的科学,也是因为它的出现是“代数方程根式可解”问题的历史转折点。《算术研究》的第七章主要目标是分圆方程的可解性,但是本文把高斯关于分圆方可解性的工作放在“伽罗瓦理论”历史发展的背景下来研究,这样我们就会发现高斯是“伽罗瓦理论”发展历史上不可或缺的重要人物,他起到了承前启后的作用。是高斯首先采用前人拉格朗日的策略,解决了一大类可根式求解的高次方程的求解问题,并且他解方程所引入的扩域思想给后人阿贝尔、柯西以及伽罗瓦等人的工作极大的启发。综上鉴于高斯对代数方程论的重要贡献,本文重点研究了高斯的分圆方程理论的起源与思想,以及他的工作在“伽罗瓦理论”发展历史上的地位和影响。本文主要做了以下几个方面的工作：第一：简要回顾了代数方程根式求解问题的起源以及发展成为伽罗瓦理论的历史经过；第二：鉴于拉格朗日对伽罗瓦理论的重要贡献,文章解释了他的著作《关于代数方程解的思考》中根式求解代数方程的思想以及重要的方法,给出了拉格朗日解方程的具体例子以及他所发现的有关重要定理,也叙述了他所遇到的障碍和困难。第三：在介绍了高斯所处的伽罗瓦理论发展历史背景之后,对高斯的著作《算术研究》的第七章展开详细的讨论。主要介绍高斯是如何证明分圆方程的不可约性以及他是如何证明分圆方程的辅助方程是可根式求解的。从现代数学的角度对他的扩域的思想做了详细的介绍。也将他的方法和拉格朗日的思路做以比较发现：高斯完全遵循了拉格朗日的思想,并给出了一大类可根式求解的方程,不同的是为了解辅助方程他引进了域的扩张的想法。也分析了他的工作对之后的阿贝尔所产生的影响：以域的扩张为基础进行研究。第四：由于与分圆方程根式求解密切相关的是正多边形的尺规作图问题,文末还给出了正多边形尺规作图问题的简单介绍。