微分方程这门学科自建立以来，就成为人们刻画事物运动变化规律的重要认知工具，被广泛应用于生态学、环境科学、经济学、电力工程和自动控制等领域。因此对于微分方程数值方法及方法稳定性的研究就成为数值计算的一个重要内容。本文分为三个部分，分别就线性多步法的增大稳定区域、线性多步法应用于中立型延迟微分方程的稳定性以及Burgers方程的一种显式稳定性方法进行了研究。众所周知，在求解常微分方程初值问题时，线性多步法具有计算格式简单误差常数小等优点，是实践中常用的数值方法，但是由于其稳定性的限制，使得在求解一些较大时间常数问题时，必须采用很小的步长积分，致使方法的效率很低。因此，本文的第二章改进了线性多步法的稳定性，对于特定的方法类找到了具有“最优”稳定区域的方法。中立型延迟微分方程是延迟微分方程的一个重要分支，在许多领域有着广泛的应用，有许多双曲问题都可以转化为中立型微分方程来解决，因此它的研究具有实际意义。本文的第三章讨论了一种A-稳定的线性多步法应用于中立型延迟微分方程的稳定性。冯康教授于1984年提出Hamilton系统的辛几何算法，首次将保结构的思想引入数值分析，随后引来了国内外在这方面的极大兴趣，产生了丰富的保结构算法，李群方法是最近才发展起来的一种很有发展前途的解决流形上的常微分方程的一种保结构算法，本文的第四章基于李群方法的思想构造了求解常微分方程的指数积分法，并将Burgers方程在空间上离散转化为常微分方程，再用指数积分法来解，可以得到和Runge-Kutta方法相同的数值精度，并且在稳定性和步长要求上都具有更大的优越性。