普通绝缘体和电子拓扑绝缘体的界面上存在一种神奇的边缘态。它能单向传播且对缺陷免疫,有望用于实现能量和信息无损耗传输。由于薛定谔方程和亥姆霍兹方程具有形式的相似性,近十几年来电子拓扑传输的研究范式被直接迁移到光学,力学弹性波,电子电路,空气声和水声等领域,成为了凝聚态物理的研究热点。目前主要的类比机制包括通过磁性材料,等效磁场等模拟手征边界态;通过贋自旋-轨道耦合,能带翻转等模拟贋(谷)自旋边缘态。而时间或空间周期性调制的弗洛奎阵列,既可以模拟量子自旋霍尔态,又可以模拟量子霍尔态,具有极为丰富的物理内涵。本文尝试研究不同维度空间周期性调制的声学波导阵列中存在的拓扑相变和拓扑传输现象,研究内容如下:(1)研究了一维原子链中拓扑边界态的条件和一维周期性调制波导中拓扑保护的束缚态传输机制。一维双质量原子链和一维双周期原子链都存在禁带,但只有双周期原子链在两端边界有孤立原子(弱耦合)时才会产生边界态。理论上只有当原胞内部耦合强度小于原胞间耦合强度时,系统的拓扑不变量卷绕数非零。更进一步,对于沿着传播方向周期性调制的一维双周期波导阵列,我们利用弗洛奎定理可以确定出拓扑保护束缚态对应的耦合条件。(2)实验上首次论证了弗洛奎型声学拓扑绝缘体以及贋自旋依赖的拓扑边界态。基于二维人工结构环阵列和散射矩阵分析,给出相邻格点环耦合强度为不同值时的投影能带;研究发现只有当耦合强度大于π/4时,截断的二维环阵列在边界上存在一对方向相反贋自旋依赖的拓扑边界态。即使在传播路径上去掉一个格点环或者适当扭曲整个环阵列,该边界态依旧能不受影响地高效率传输。当环阵列的上半部分与下半部分错位半个周期,在位错处可产生拓扑界面态。此外,我们在实验上表征了投影能带中体带和禁带对应的声场分布,并给出如何判定所测声场分布对应为边界态,体态还是禁带的判据。值得注意的是,因为声波可视为玻色体系,时间反演对称算符满足T2=1,所以不同贋自旋边界态不能真正地解耦。在实验中,我们采用了较强的环间耦合,尽量降低相对传输的贋自旋态之间相互耦合。(3)采用时间-空间映射,我们设计了一种静态三维周期性调制弗洛奎阵列,能够在人工结构晶体表面支持手征拓扑表面态,且在晶体内部支持局域化反向手征回旋态,很好地类比于量子霍尔效应。在以往声拓扑结构设计中,要实现类量子霍尔效应,必须引入时变背景场来产生一个等效磁场,而时变阵列的同步性和稳定性都很难以控制。通过引入时间-空间类比,利用沿传播方向周期性调制耦合代替时变耦合,巧妙地将动态结构转化为静态结构,大大地降低了加工难度,从而实现大尺度手征表面态。通过数值模拟,在该人工结构晶体表面观察到缺陷免疫拓扑保护表面态。基于弗洛奎理论,计算投影能带,我们发现改变内部耦合的手性可调节手征边界态的群速度方向。拼接支持正反群速度手征表面态的两个弗洛奎阵列,在界面处可观察到拓扑保护声学负折射效应。