众所周知，数域的研究起源于数论（不定方程的整数解），单变量函数域的研究起源于代数曲线。在二十世纪初Hensel建立了赋值理论之后，这两种域的研究形成了统一的手段。经典代数数论与代数曲线的算术理论相交织，二者的研究相互影响相互促进。例如，分圆域的Iwasawa理论起源于函数域的常值域扩张的研究;而数域的Hilbert类域理论又诱导了Drinfeld和Hayes对于函数域Hilbert类域的研究，从而开创了现在所谓的Drinfeld模理论的研究。代数数域与整体函数域（即以有限域为常值域的代数函数域）有很多类似的性质，它们统称为整体域。在这篇论文中，我们着眼于二者之间相似性质的研究。从而，我们采用相对算术而非几何的方法来研究所关心的问题。　　现在我们简单介绍本文的主要结果:　　在第一章中，我们首先简单回顾了代数函数域中的一些已知结果。例如，函数域的Riemann-Hurwitz公式，整体函数域的zeta函数等。利用整体函数域zeta函数的表达式，我们给出了整体函数域的次数为2g-2和2g-3的有效除子个数的公式，利用得到的计算公式，我们研究了整体函数域的常值域扩张的类数整除性问题。在本章的最后一节，我们对形如K（l√a）的函数域何时为K上的几何扩域进行了详细的研究，并且给出了双重Kummer整体函数域为几何扩域的充要条件。我们还详细计算了一些特殊多重Kummer整体函数域的亏格。最后，我们给出了Kummer函数域与Artin-Schreier函数域复合后得到的函数域的亏格的明确公式。　　在第二章中，我们介绍了函数域的亏格理论和Conner-Hurrelbrink正合六边形。我们知道，数域的亏格理论是研究数域类群结构的有力工具。利用函数域的Conner-Hurrelbrink正合六边形和亏格理论，我们研究了有理函数域l次循环扩域的理想类群Sylow-l子群的结构。最后，我们还研究了有理函数域四次扩域与二次子域之间的类数关系。需要指出的是，尽管本章中的很多结果与Bae Sunghan等人最近在《Finite Fields and Their Applications》上发表的结果相同，但是这些结果都是作者独立得到的。　　在第三章中，我们首先简单介绍了Drinfeld和Hayes在上世纪七十年代发展的Drinfeld模理论。利用Hayes的秩为一的正规化Drinfeld模理论，我们明确给出了Hayes得到的正规化域和其上分圆扩域的亏格公式。这些公式与经典分圆函数域的结果一致，我们得到的亏格公式可以看作是Hayes和Kida得到的经典分圆函数域亏格公式的推广。本章的最后，我们利用Carlitz模和分圆函数域的性质研究了一些分圆函数域的子域，并且我们给出了一些特殊子域的解析类数公式。　　在第四章中，利用Stickelberger-Swan定理，我们证明了在二元域上，除了x2+x+1和x4+x+1，其余的仿射多项式在二元域上都是可约的。同时，在一些特殊情形下，我们给出了仿射多项式的不可约因子。