作为一门古老而基础的数学分支,早期的概率论主要研究的是生活中的可能性问题。随着其理论的不断深入和研究方法的革新,逐渐在金融、医学、军事、甚至社会科学中有了广泛的应用。在此过程中形成了许多交叉学科,如信息论、生物统计以及精算理论等。马氏过程在这些领域中起着超乎寻常的作用。而马尔可夫链极限理论作为它研究的基本领域之一,更是让很多学者对其的理论以及其应用产生了浓厚的兴趣。对非齐次马氏链极限理论的探索,许多专家学者们一直在不断地努力,并取得了骄人的成绩。上世纪八十年代,一种新的研究强极限定理的方法被刘文和杨卫国提出,后来很多学者还利用该方法对非齐次马氏链的强极限定理、广义熵定理等问题做了深刻研究。本文重点讨论了关于非齐次马氏链广义渐近均分性定理。主要研究了以下两方面的内容,一方面研究了几类随机变量的若干极限定理,利用分析的方法将已有的强极限定理做了推广;另一方面探讨了非齐次m阶马氏信源的广义渐近均分性,同时简单的介绍了它在编码定理中的应用。本文主要分为五个章节进行叙述。绪论给出了马尔科夫链极限理论研究的背景及其发展现状。第一章利用Borel-Cantelli引理与极限理论中的分析方法,给出了独立同分布随机序列滑动平均的熵定理和中心极限定理。概率论中关于独立同分布的经典定理–渐近均分性定理以及中心极限定理是本章的推论。第二章研究离散信源广义熵定理以及随机条件概率的广义调和平均a.s.收敛性。在证明过程中提出了将Markov不等式、Borel-Cantelli引理等应用于强极限定理研究的新方法。第三章首先介绍了非齐次m阶马氏信源的概念,然后利用m+1元函数研究了其熵密度的极限定理。最后给出了非齐次m阶马氏信源的广义渐近均分性以及它在编码定理中的应用。第四章提出广义经验分布函数的概念,并且研究了广义经验分布的收敛性。第五章引进了滑动相对熵的概念,研究了相依离散序列的若干极限性质,并推广了部分已有的结果。