在1969-1970年，L.Nirenberg提出下面的问题：给定二维标准球面(S2，gs2)上的光滑函数K(如果需要，可以假设K在某个意义下非常接近某个正常数)，是否存在共形于gs2且标量曲率或Gauss曲率等于K的度量g？如果设g=e2wgs2，那么这个问题等价于求解下面的二阶椭圆型偏微分方程-△gs2w+1=Ke2w，于S2。这里△gs2是(S2，gs2)上的Laplace-Beltrami算子.Nirenberg问题的高维情形，n≥3，等价于求解-△gsnv+c(n)Rgsnv=c(n)Kvn+2/n-2，于Sn，其中c(n)：(n-2)/(4(n-1))，Rgsn=n(n-1)是(Sn，gsn)的标量曲率，v=en-2/4w.近半个世纪来，Nirenberg问题引起广泛的研究，如见Moser，Chang-Yang，Chang-Liu，Han，Escobar-Schoen，Schoen-Zhang，Bahri-Coron，Li等的相应参考文献。　　共形不变算子，如共形Laplace算子Lg：=-△g+c(n，)Rg，是几何学与物理学中非常重要的研究课题.早在20世纪初，人们发现无质量粒子(massless particles)在弯曲的时空中满足的方程具有共形不变性.在粒子物理中有这样一个问题，除了共形Laplace算子以外，在共形Riemannian流形上是否还存在其它非平凡的共形不变算子；如果存在，怎么完全地构造这些共形不变算子？注意到粒子物理中AdS/CFT对偶原理，C。Fefferman和R.Graham于1985年提出通过构造外围度量的方法去构造所有的共形算子，但是这些都是形式的想法，没有严格的数学推导，基于这个想法，R.Graham和M.Zworski于2003年发现渐近Einstein流形上的Scattering Matrices与共形边界上的共形不变算子的关系，构造了亚纯族的共形算子Pσg，σ∈C.特别地，P1g等于共形Laplace算子-△g+c(n)Rg，所以P1g(1)=c(n)Rg与标量曲率仅相差常数c(n).更值得注意地，类似于Gauss-Bonnet定理，在2n+1维渐近Einstein流形X的共形边界OX上的积分∫aXPng(1)dvolg是拓扑不变量.受Yamabe问题启发，我们可以问是否存在共形度量使得Pσg(1)是常数?这方面的研究可以参见Ging-Raske，Gonzalez-Qing，Gonzalez-Mazzoe-Sire的最近工作。　　我们问：对于球面Sn上的光滑函数K，是否存在共形于gsn的度量g使得Pσg(1)=K当σ∈(0，n/2)时，这个问题等价于求解方程：Pσgsn(v)=Kvn+2σ/n-2σ，于Sn，(1)其中Pσgsn=T(B+1/2+σ)/T(B+1/2-σ).B=√-△gsn+(n-1/2)2，r(·)是Gamma函数，而△gsn是(Sn.gsn)上的Laplace-Beltrami算子.σ=1的情形就是上面提到的Nirenberg问题。　　本论文关心0<σ<1的情形：得到如下主要结果：　　·建立Kazdan-Warner型的恒等式，从而给出(1)存在性的必要条件。　　·考虑球极对称的K，即K(-ζ)=K(ζ)对任意ζ∈Sn，建立Moser。Escobar-Schoen型的存在性结果。　　·利用非线性泛函分析方法，建立扰动结果，即｜｜K-1｜｜L∞(Sn)充分小意味着解的存在性。　　·在假设K满足自然的平坦的条件下，证明解的存在性和解族的紧致性。　　不同于σ=1的情形，Pσgsn现在是2σ阶的非局部椭圆算子.在处理非局部算子过程中，本论文得到一系列具有自身意义的结果.如线性非局部方程正解的Harnack不等式，局部Schauder估计，Bocher型孤立奇异解的分。　　在本论文的最后一章，我们还研究了球面上的分数阶Yamabe流，证明了其长时间的存在性及收敛性.作为应用，我们建立了一种分数阶多孔质方程的解的渐近消失行为。