无网格法是目前计算科学和近似理论中的热点研究课题之一。无网格法采用基于点的近似,可以彻底或部分地消除网格,不需要网格的初始划分和重构,克服了有限元法在形成函数近似时需要预先划分网格的缺点。在过去的几年里,无网格法在人工智能、计算机图形学、图像处理和各种类型的偏微分方程数值解等领域的应用研究已经展开。Helmholtz问题在物理、力学、工程等许多领域中有广泛的应用背景。因此,研究其数值解不仅有实际意义,也有理论价值。本文第一章介绍了有限元法等传统数值方法的基本原理及其局限性,阐明了无网格法的产生背景,系统地阐述了无网格法的发展历史和研究现状,总结了无网格法的优点和存在的问题。第二章探讨了无网格法求解过程中的有关理论,主要介绍了几种不同的节点生成算法,几种常用的离散微分方程的方法及它们各自的特点和求解代数方程组的GMRES算法。第三章对目前流行的几种构造无网格形函数的方法做了详细的分析,就Helmholtz问题的特殊性改进了传统的点插值法所用的基函数,采用三角函数作为基函数,形成基于三角函数的点插值法,给出了一维情况下基于三角函数插值法的无网格形函数及其导数的图像。通过具体的函数拟合算例与移动最小二乘近似的形函数进行比较,显示了点插值法应用于配点型无网格法的优越性。在第四章,采用基于三角函数点插值的配点型无网格法求解Helmholtz问题,通过对不同类型的Helmholtz问题的研究,验证了采用基于三角函数点插值的配点型无网格法求解Helmholtz问题的可行性和适应性。第五章,针对用配点型无网格法求解具有导数边界条件的微分方程的不稳定性,总结了目前已有的各种处理导数边界条件的技术,并提出了新的导数边界条件处理技术,分析了新的导数边界条件处理技术的优越性,通过数值算例验证了对导数边界条件的特殊处理可以提高配点型无网格法的数值精度。