可压缩流动的数值算法是计算数学与力学的一个重要的研究领域，本文的工作针对可压缩流动，研究并发展了两类不同的方法：即任意网格上的有限体积方法与高阶精度的间断迦辽金方法(Discontinuous Galerkin Method)。论文的前半部分将Ahn H T，Carey G F．An enhanced polygonalfinite-volume method for unstructured hybrid meshes. International Journal for Numerical Methods in Fluids，Vol.54，29-46，2007.所提出的二维多边形有限体积法推广到了三维任意多面体网格，并成功求解了包含激波间断的高速流场问题，发展了支持任意网格的流场求解程序XPOLY(X-POLYhedral Compressible Flow Solver)。系统地研究了多面体网格的几何特性与程序数据结构，严格地推导出了任意多面体网格几何量的通用计算方法。针对经典Roe格式的缺陷，原创性地提出了Modified Roe格式(MRoe)并取得了成功。为了保证有限体积方法能够成功地应用在任意多面体网格中，应用径向基函数的基本理论发展了全新的二阶重构方法。另外，采用了基于分子动理论的动能通量分裂格式计算高速流动问题，该格式自然的物理耗散机制保证了高速流动计算的鲁棒性。为了稳定地求解非定常流动，采用了一类强稳定性保持的龙格库塔方法(Strong Stability Preserving Runge Kutta Method，SSP-RK)。进一步研究了大时间步长下的隐式二阶时间推进方法，采用了一种新的不包含伪时间步迭代的二阶精度隐式时间推进方法。最后通过若干算例的验证，证明了以上所发展的算法及程序的正确性。　　 论文的另一部分工作是关于Discontinuous Galerkin方法，简称DG方法。DG方法具有Finite Volume Method与Finite Element Method的双重优点，是近几年来比较受关注的高阶格式。本文以张量形式推导了一维到三维的守恒律DG离散公式，将谱方法中的正交基应用到了DG当中，发展了非常高阶(到11阶精度)的P型DG算法。通过典型模型方程的验证，证明了所发展的方法具有理论设计精度。　　 另一方面，针对包含高阶导数的问题，利用正交基发展了高阶Local Discontinuous Galerkin方法。模型方程的验证表明该方法对于导数量也具有高阶逼近的特性。最后，对包含有强间断的二维问题进行了求解，发现间断的出现导致了全局精度的丢失，但是间断的捕捉随着精度的升高而变得陡峭，说明了高阶格式对于间断问题的求解同样有效。