由于复杂网络能够描述自然科学以及社会科学领域中的众多复杂系统,近十几年来,复杂网络研究已渗透到数理、生命和工程等众多不同的学科领域,成为科学研究热点。复杂网络自身拓扑结构理论研究是复杂网络理论研究的基石,2005年,复杂网络的自相似和分形特性通过重整化方法被揭示。由此,“分形性质”和“小世界性质”及“无标度性质”并称为复杂网络的三大基本特性,受到了广大学者的重点关注。本文将重点研究复杂网络分形特性及其应用,创新性的研究成果,有以下几个方面：1.从不同角度刻画复杂网络的分形特征。分形理论中,分形维数是分形特性最重要的量化指标。现在分形的概念已经不局限于分形体结构的分形,而是扩展到分析分形体信息、功能等各方面的分形特性,体现了从不同的角度研究分形对象的思想方法。复杂网络的盒覆盖等算法已经对网络结构的分形有了很好的度量,本文通过考虑不同盒子覆盖能力的大小(包含节点数目的多少),将其定义为信息量,进一步从信息维的角度研究了复杂网络的分形特征,给出了更适合于实际复杂网络信息维数计算的方法。另一方面则基于复杂网络体积维概念,在盒覆盖过程中考虑节点之间度的差异性,推广了复杂网络体积维的定义。两种理论方法均通过数值模拟分析了美国电力网、电子邮件网等实际网络,证明了两种方法在复杂网络分形分析上的有效性。2.提出了针对加权网络分形特性的分析理论。现有复杂网络分形研究主要针对无权网络,并已取得较丰富的研究成果。但现有方法不能适用于加权网络分形特征研究,本论文提出了针对加权网络的盒覆盖方法,该方法将盒子长度的取值从整数范围扩展到实数范围,取值依赖于网络中直接相连节点间距离从小到大的叠加。通过对构造的谢尔宾斯基("Sierpinski")加权网络和对美国航空网、大肠杆菌网、线虫神经网、邮件网络等实际加权网络的数值实验表明,所提出的方法不仅兼容了经典的复杂网络盒覆盖方法,而且能够很好地刻画加权网络的分形特征。最后还研究了加权网络的权重值变化与网络维数值的关系,发现当权重值取相反数时,网络的维数值近似相等。3.研究了加权网络的多重分形特征。分形体的异质性使得用单一的分形维数不能完全刻画出分形体的性质,所以多重分形成为重要研究课题。本论文在加权网络分形分析理论的基础上,以盒子包含节点数比率作为信息量,提出了加权网络多重分形分析方法,通过计算加权网络的广义分形维数表征其分形特征,对美国航空网络和线虫神经网络的数值模拟表明两个网络均存在多重分形特征,并给出了适合度量这两个网络多重分形特征的尺度范围。4.基于局部信息维解决复杂网络节点重要度识别问题。首先用球覆盖法在以单个节点为中心时球能够覆盖的节点占所有节点的比例表示该点的信息量,则节点信息量随球半径增长的变化率定义为该点的局部信息维。该定义表明一个节点的局部信息维代表了此点在球半径变化时所能”捕获”的信息量,两者的关系为局部维数值越小,表明从该点处”了解”整个网络的能力越强。这使得利用局部信息维数值的大小对节点重要度进行排序成为可能。基于这一新思路,提出了基于局部信息维的节点重要度排序方法,其排序结果与常用的介数、邻介数等比较,对于构造网络和实际网络用SI传染病模型模拟、排序相关性比较等多种方法分析几种方法下找到的重要节点,结果发现,局部信息维的排序结果与度、介数和邻介数效果一致甚至更好,表明局部信息维数值可以应用于判定节点重要度。