拟插值法是一种重要的函数逼近方法.与插值法相比,拟插值法不需要求解线性方程组,因而具备计算简单、便于应用的优点.传统拟插值逼近面向确定性数据.然而,由于信号延迟、测量误差等实际因素,现实中所得采样数据往往带有随机性.一些数据甚至直接采自某（已知或未知）分布.因此,随机拟插值法成为了近几年的研究热点.目前,拟插值法在散乱数据拟合、几何建模、图像处理和微分方程数值解等领域均有广泛应用.为了提高精度,现有拟插值算子大都需要目标函数的导数信息,而这些信息在实际问题中难以得到.因此,构造不依赖于目标函数导数信息的高精度拟插值算子显得极为迫切.此外,虽然随机拟插值展现出对随机数据的有效逼近能力,然而其中的很多理论如最优收敛阶分析以及与统计学习理论的有效结合等问题还需要大量研究.本文对拟插值算子的三类问题进行研究,它们分别是均匀网格点上高精度拟插值算子的构造、随机采样点上拟插值算子的构造与收敛阶估计、拟插值算子在数值分析和微分方程数值解中的应用.主要研究内容如下:1.对于任意具有多项式再生性的一元或二元拟插值算子,根据Waldron（2009）提出的拟插值算子构造策略,使用Rabut（2000）差商法求导数的近似值,得到不需要导数信息的、再生更高次多项式的高精度拟插值算子构造策略.利用该策略构造了高精度一元B样条拟插值算子和2-型三角剖分上的二元B样条拟插值算子.基于构造的一元B样条拟插值算子,提出了高精度数值微分格式及数值积分格式,并给出带有常数项系数的误差估计.基于二元高精度B样条拟插值算子,给出一类微分方程的数值解算法.与一元、二元高精度MQ拟插值算子进行比较,验证了构造的样条拟插值算子的有效性.2.在经典随机Bernstein拟插值算子的基础上,通过加入对称的采样点信息,构造了一类对称型随机Bernstein拟插值算子.对确定性误差和随机误差分别进行估计,证明该算子在Ditzian-Totik光滑模下与经典Beinstein多项式有相同的收敛阶.3.拟插值算子在Burgers方程数值解中的应用.分析一种二元MQ拟插值算子,给出该算子对函数及其导数的逼近误差.进一步,利用该二元MQ拟插值算子给出二元Burgers方程的数值解算法,并给出整体误差估计.该算法简单,易于操作.