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近些年来,均衡约束下的数学规划问题广泛应用于经济均衡、工程问题、运输网络设计等诸多领域.由于一般非线性规划问题中的绝大多数经典约束规格在这类问题中无法得到满足,因此一般意义的Karush-Kuhn-Tucker条件不一定是一阶必要条件.这给问题的求解带来很多不便.于是为这类问题寻找恰当的约束规格,并在这些新约束规格下寻求最优性条件便成了近些年优化领域研究的热点问题.本文是一篇关于均衡约束数学规划问题约束规格和最优性条件的综述,主要介绍迄今为止国际上以M.L.Flegel,C.Kanzow为代表的,研究均衡约束数学规划的学者为求解这类问题而引入的几种重要的约束规格以及相应的最优性条件,讨论了这些约束规格之间的关系,涉及了一些稳定点的概念,并用稳定点的概念表述了这类问题的最优性必要条件.由于Fritz John条件不需要任何约束规格,因此,我们还介绍了C.Kanzow和A.Vath关于加强的Fritz John型最优性条件的一个最新结果.本文讨论如下形式的数学规划问题：min f(z) s.t. g(z)≤0, h(z)=0, G(z)≥0,H(Z)≥0, G(z)-H(z)=0,由于这类问题源于求解Stackelberg博弈问题的均衡点,我们称之为均衡约束下的数学规划问题,简称为MPEC问题.1.§3.1介绍MPEC问题的各种约束规格以及各种约束规格之间的关系.其中§3.1.1重点介绍MPEC问题专门的Abadie约束规格MPEC-ACQ,§3.1.2介绍MPEC问题的Guignard约束规格,§3.1.3涉及一些其他的约束规格以及各约束规格之间的关系.1.1.M.L.Flegel和C.Kanzow在[8]中定义了新的锥TMPEClin(z*)并给出了TMPEClin(z*)和T(z*)之间的关系.定理1对于MPEC问题的任意可行点z*,都有在此基础上他们定义了新的约束规格MPEC-ACQ:并在[9]中给出了MPEC-ACQ成立的一个充分条件.定理2设z*是MPEC问题的可行点,如果约束函数g, h, G, H是线性的,那么MPEC-ACQ成立.1.2. M.L.Flegel和C.Kanzow在[3]中指出,尽管在MPEC问题中,大多数经典的约束规格在可行点处不成立,但GCQ在一定的条件下却能够成立.他们给出了如下结果：定理3设z*是MPEC问题的可行点,并且A1假设成立,则conv(T(z*))是闭集,即据此他们证明了MPEC问题中GCQ成立的等价形式：1.3. M.L.Flegel和C.Kanzow在[9]和[11]中介绍了MPEC问题一些其他的约束规格,详细讨论了MPEC问题的各约束规格之间的关系.定理4如果MPEC问题的可行点z*满足MPEC-LICQ,那么z*也满足MPEC-MFCQ.定理5如果MPEC问题的可行点z*满足MPEC-MFCQ,那么z*也满足MPEC-ACQ.定理6如果MPEC问题的可行点z*满足MPEC-LICQ,那么z*也满足GCQ.定理7如果MPEC问题的可行点z*满足MPEC-ACQ,并且满足A2假设,那么z*也满足GCQ.从而有如下关系：MPEC-LICQ(?)MPEC-MFCQ(?)MPEC-ACQ, MPEC-LICQ(?)GCQ, MPEC-ACQ+A2(?)GCQ.2.§3.2介绍MPEC问题在相应约束规格下的最优性条件,由于KKT条件可能不再是MPEC问题的最优性条件,这引出了一系列稳定点的概念以及用恰当的稳定点可以表述MPEC问题在相应约束规格下的一阶最优性必要条件.最后介绍了C.Kanzow和A.Vath关于MPEC问题的加强Fritz John型条件的最新结果.2.1. M.L.Flegel和C.Kanzow在[12]中给出了MPEC问题在GCQ下的最优性条件.定理8设z*为MPEC问题的局部极小值点,如果GCQ在z*处成立,那么z*是强稳定点.J.J.Ye在[4]中证明了M-稳定点是MPEC问题在MPEC-ACQ下取得局部极小值的一阶最优性必要条件.定理9设z*为MPEC问题的局部极小值点,如果MPEC-ACQ在z*处成立,那么z*是M-稳定点.2.2 C.Kanzow和A.Vath在[5]中给出了MPEC问题加强的Fritz John型条件.定理10若z*是MPEC问题的局部极小值点,则存在乘子λ*=(λf,λg,λh,λG,λH)使得(a)(b)λf≥0,λig≥0 (?)i∈Ig,λig=0 (?)i(?)Ig,λig=0 (?)i∈γ,λiH=0 (?)i∈α,λiG>0,λiH>0或λiGλiH=0, (?)i∈β.(c)λf,λg,λh,λG,λH不全为零.(d)如果λg,λh,λG,λH不全为零,则存在点列{zk｝→z*使得对所有的k(?)N,有f(zk)<f(z*),若(?)>0,则λiggi(zk)>0,若(?)≠0,则λihhi(zk)>0,若(?)≠0,则λiGGi(zk)<0,若(?)≠0,则λiHHi(zk)<0.