代数的扩张是代数学研究的重要手法，被广泛地应用于代数结构及分类的研究。另一方面，代数的群作用理论和Hopf代数作用理论也是代数学重要研究内容之一，有许多数学家从事这方面的研究，并将作用理论应用于代数扩张及结构的研究。Hopf代数cleft扩张等价于Hopf代数的crossed积，这一概念推广了群的带有正规基的Galois扩张，等价地推广了群作用的crossed积概念，cleft扩张和crossed积统一并推广了smashed扩张和smash积、twisted扩张和twist积等概念。这是Hopf代数作用、余作用理论及代数扩张理论研究的拓展和深入。　　本文研究由Hopf代数E(2)所确定的cleft扩张，或等价地研究E(2)的crossed积。首先，介绍Hopf代数E(2)的结构及其相关性质，然后给出代数C的一个E(2)-扩张成为cleft扩张的等价条件，并给出代数C的一个cleft E(2)-扩张的一系列重要性质，同时由相应的cleft系统导出一个数组，且给出这一数组满足的一系列性质。进一步地，引入一个代数C上的E(2)-cleft数组的概念，并记代数C上的E(2)-cleft数组之集为D(E(2)，C)。其次，对于代数C上的任一个给定的E(2)-cleft数组d∈D(E(2)，C)，我们构造C的一个扩张A(d)，证明A(d)具有泛性质，A(d)是C的一个cleft E(2)-扩张，并给出这样的两个E(2)扩张同构的充分必要条件。同时，证明代数C的任一个cleft E(2)-扩张都同构于某个A(d)，其中d∈D(E(2)，C)。我们还利用一个半直积群作用于集合D(E(2)，C)的轨道之集给出代数C的cleft E(2)扩张的同构分类。最后，讨论了当(d)是C上的E(2)-cleft数组时，A(d)分别是twisted扩张和smashed扩张的等价条件。