教师的知识是数学教育的一个热点。除了SMK、PCK等教师的教学知识理论以外,舍瓦拉德倡导的ADT理论和教学知识转变理论,带来了数学知识的新的观点。他提出学校的知识的来源不是学校自发,而是外部形成的知识转变到学校。教学知识的转变是从学校外部的学科知识转变到可教的知识开始,下一步可教的知识转变到教学知识。他说,观察课堂一般关注教师-学生之间的二元关系,但是其实在课堂中数学知识也是一个重要因素之一,所以他提出了教学三元因素——教师、学生、数学知识。因此,观察课堂不只是看师生的课堂活动,还需要研究课堂中知识的操作方法。跟据ADT理论,知识是在社会文化背景下,在社会制度内部通过人类的认知活动形成的,具有实践和理论的两个层面。“教学行为的实践和思维(Proxeology;PL)”是ADT理论的核心词。一般指的是人类的活动和行为,在理论中还包括行为的意图、思考等,具有比较广泛的意思.本文以小学数学教学的难点“分数除法”为例,观察并比较中韩小学数学课堂,分析小学课堂中“分数除法”的教学知识产生的过程以及师生互动中产生的社会数学文化规范,由此讨论数学课堂中形成的数学知识所具有的意义。研究问题是:1.在中韩“分数除法”的小学数学课堂中,“教学知识转变(Didactic Transposition)”的特征是什么?(1)中韩教材中呈现的“期望教学知识(Knowledge to be taught;KBT)”是什么?(2)中韩课堂中,“实际教学知识(taught knowledge;TK)”是什么?(3)中韩课堂中,“期望教学知识(KBT)”如何转变到“实际教学知识(TK)”?整个研究过程分为四个阶段,分析中韩教材的结构和分数除法单元内容,教师提前访谈,拍摄与录音课堂,教师课后访谈。分析的主要内容包括教材和课堂,分析框架是Chevallard&Sensevy(2014,40)的PL两个大模块:实践(praxis)和理性思维(lo gos)。首先,为了分析KBT,列出中韩教材的体系、内容(文字题、模型、算式),提出实践的两个要素——任务(tasks)、技法(technique)和理性思维的两个要素——技术(technology)、理论(theory)。再次,课堂中师生使用的任务、模型、数式和语言表征中,列出PL的四个模块,然后分析TK和KBT转变为TK的过程。研究结果包括中韩教材的分数除法的演变和特征。演变过程中发现中韩教材编排的分数除法算法的方式不同。中国教材是用“分数乘法的逆运算”概念提出用倒数的算法。教材演变中倒数的编排位置也有变化,完成现在的“先提出倒数,后探索算理”的编排方式。韩国教材显示不同类型的分数除法算式,涉及通分异分母分数的算式解决过程中一步一步探索除数转变倒数。不过现行韩国新教材重点在于分数除法的不同表征,引进单位比率量和双数轴。既然教材中的KBT不同,课堂中的TK也有差异。在数学课堂中,中韩两位老师都是跟着教材走的,但是分析课堂的PL中发现,教材中的KBT不同,课堂中的TK技法和技术(数学用语、模型、算式运用方式)也都不同。另外,在中国课堂发现教材中的隐形技术,老师布置了课堂活动,当成课堂活动的核心技法的现象。在韩国课堂,现实生活情境的引入方式,产生找出生活中的数学的谈话。分析中韩教材和课堂的PL和教学知识转变,提出四个方面的建议:(1)教材中的倒数编排;(2)分数除法的算法内容的多样化;(3)教学中线段图的使用方式;(4)教学中使用的教学用语(分率、和倍问题等)的存在理由(raison d`être)。