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在概率统计这一数学分支中,高斯过程是一类重要的随机过程,而大小偏差估计的研究是统计学科中最重要的组成部分。高斯过程的Karhunen-Loève展开及其大小偏差估计与许多领域都保持着紧密的联系,通过对两类高斯过程的Karhunen-Loève展开的研究,可以帮助我们更好的研究这两类类高斯过程的性质。同时可以使我们在解决随机信号处理、小波变换以及其它一些相关联的学科问题更加容易。 本课题“两类高斯过程的Karhunen-Loève展开及其大小偏差估计”主要针对零均值高斯过程,利用Mercer定理和Karhunen-Loève展开定理,介绍了双边布朗桥和非趋势非线性布朗运动的Karhunen-Loève展开,同时介绍了非趋势非线性布朗运动的相关应用,即本文主要研究以下三个方面的问题: (1)双边布朗桥的Karhunen-Loève展开:通过对双边布朗桥的协方差函数的正定性的研究,研究了双边布朗桥的KL展开形式,同时得到其与标准布朗运动的展开形式是一致的。 (2)非趋势非线性布朗运动的Karhunen-Loève展开:通过对非趋势非线性布朗运动协方差函数的计算,利用Mercer定理和KL展开定理给出非趋势非线性布朗运动的KL展开形式,同时得到该过程的KL展开与二阶广义布朗桥的KL展开形式是一致的。 (3)利用二阶非趋势非线性布朗运动的Karhunen-Loève展开,介绍了此类高斯过程的相关应用,即拉普拉斯变换和大小偏差估计。 本文构成如下:第一章绪论主要介绍了高斯过程的背景和国内外的研究现状等相关情况;第二章系统研究了双边布朗桥的Karhunen-Loève展开;第三章主要介绍了非趋势非线性布朗运动此类高斯过程的Karhunen-Loève展开。第四章主要介绍了非趋势非线性布朗运动的拉普拉斯变换形式和大小偏差估计。