【摘 要】
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本文主要研究了几类随机偏微分方程的不变测度及其数值逼近,建立了格点Klein-Gordon-Schr?dinger（KGS）系统的不变测度与统计解,缓增分数布朗运动驱动的随机平均场方程的适定性,随机流体类发展方程的不变测度及其数值逼近等,讨论了噪声对随机动力系统的适定性与遍历性的影响.第一章介绍了随机偏微分方程及其遍历性的物理背景和研究现状,给出了本文的主要研究结果,并列出了本文所需的一些引理和不
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本文主要研究了几类随机偏微分方程的不变测度及其数值逼近,建立了格点Klein-Gordon-Schr?dinger（KGS）系统的不变测度与统计解,缓增分数布朗运动驱动的随机平均场方程的适定性,随机流体类发展方程的不变测度及其数值逼近等,讨论了噪声对随机动力系统的适定性与遍历性的影响.第一章介绍了随机偏微分方程及其遍历性的物理背景和研究现状,给出了本文的主要研究结果,并列出了本文所需的一些引理和不等式.第二章首先通过证明非自治格点KGS型方程的渐近紧性和拉回吸收集的存在性,得到了KGS方程存在一个拉回吸引子.之后建立了广义的Banach极限及解过程的连续性,得到了其所支撑的不变测度,并证明这个不变测度族是统计解.第三章建立了由缓增分数布朗运动生成的随机卷积的性质.在此基础上证明了由缓增分数布朗运动驱动的随机平均场方程解的存在性和唯一性.通过Banach不动点定理和Mittag-Leffler函数的性质,证明了由缓增分数布朗运动驱动的一类时间分数阶随机平均场方程的mild解的存在性和唯一性.第四章研究了高斯噪声驱动的随机流体发展方程的不变测度及其数值逼近.通过空间Galerkin谱方法半离散方程,证明半离散格式下的遍历测度的存在唯一性和收敛阶数.然后,在指数欧拉时空全离散格式下,得到了其数值不变测度的收敛阶为1/2.最后,给出数值模拟佐证理论结果.第五章研究了乘性高斯噪声驱动的非线性反应扩散方程数值方法的遍历性.首先,构造方程的空间半离散格式,通过验证条件证明此格式具有唯一不变测度.然后通过指数欧拉方法全离散方程,证明此全离散格式构造的马尔科夫链具有唯一不变测度.
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