本文主要研究一类涉及p-拉普拉斯算子非线性椭圆偏微分方程在全空间的鞍形解.我们通过应用上下解方法、单调迭代方法等,得到了这类椭圆方程在偶数维空间R2m(2m≥p>2)鞍形解的存在性结果.并且研究了最大鞍形解与最小鞍形解的存在性问题,得到了在所有鞍形解中必定存在最大与最小鞍形解,即所谓的准最大与准最小鞍形解.进一步我们应用单调迭代方法得到了严格意义上的最大鞍形解,即在所有在Simons锥C上等于零而且具有与表达式s-t相同符号的有界弱解(不一定是鞍形解)中必定存在所谓的最大鞍形解.我们通过对双稳扩散方程鞍形解的二阶偏导应用一个极值原理,得到了这类方程鞍形解的凸性结果.然后利用所得到的鞍形解的凸性结果,结合鞍形解的性质建立了二维空间情形鞍形解的水平集的单调性与凸性结果.最后我们证明了一类具有线性的加权的Neumann边界条件的退化椭圆问题非常弱解的存在唯一性.第一章,我们简单介绍了所研究问题的背景及本文的主要结果.交代了文中需要用到的一些概念与基本定理等预备知识,包括全文结构的简单安排介绍.第二章,我们考虑一类涉及p-拉普拉斯算子非线性椭圆方程在全空间的鞍形解一△pu=f(u), x∈R2m.我们应用上下解方法得到了这方程在更多偶数维空间R2m(2m≥p>2)鞍形解([39]中已经得到在偶数维空间R2m(2m≥2p>4)鞍形解的存在性)的存在性.其中我们需要引入所研究问题在某个区域Ω(有界或无界)内的有界弱解为半稳定的概念.然后我们得到了准最大与准最小鞍形解的存在性,即证明了所研究问题的所有鞍形解中必定存在最大与最小鞍形解.其中关键的地方是需要证明在某个区域内正解的半稳定性性质,以及找到合适的上下解,并且说明所得解必为非平凡解(即非常数解).其中我们用到了所研究问题对应的ODE方程的解是该问题在Simons锥内的上解这一事实.第三章,我们应用单调迭代方法,首先定义uR,0,然后说明所得到的解序列{uR,k}单调有界等事实,再说明它们的极限就是我们所要找的解.总之我们得到了原方程的最大鞍形解,即在所有在Simons锥C上等于零而且具有与表达式s-t相同符号的有界弱解(不一定是鞍形解)中必定存在所谓的最大鞍形解.第四章,我们通过对鞍形解的二阶偏导utt应用一个极值原理,得到了双稳扩散方程一△u(x)=f(u(x)), x∈R23,鞍形解的部分凸性,即得到二阶偏导utt在H={s>t}中的符号保持不变的性质,从而得到uss在{t>s}中也保持符号不变.利用二阶偏导utt在H={s>t}中的符号不变的性质,结合鞍形解的性质建立了二维空间情形鞍形解的水平集的单调性与水平集跟坐标轴交点处的凸性结果.第五章,我们得到了具有线性的加权的Neumann边界条件退化椭圆问题非常弱解的存在唯一性结果与一个估计式.其中α∈(-1,1),且