达布变换是求孤子方程精确解的一种直接有效的方法,在孤子理论中具有重要作用。达布变换的实质是一个含有谱参数的规范变换,它将一个谱问题变为同类型的另一个谱问题。在利用达布变换求解孤子方程精确解的过程中,可以利用数学软件并结合符号运算对部分表达式给出证明,并画出解的图像。通过利用达布变换求解孤子方程,有助于我们对孤子方程的解及其谱问题所对应Lax对的解有更深的了解,为此受到众多学者的青睐。推广应用达布变换到更多类型的孤子方程逐渐发展成为孤子领域中的一个重要研究方向,具有理论意义和应用价值。本文主要工作可以概括为:首先,在第一章中,绪论部分用于简要概述孤立子的发现及其发展状况、孤子方程的几个求解方法;其次,在第二章中给出一个新的微分-差分方程的一次达布变换,进而通过已知的种子解求得新解,并利用数学软件刻画出解的图像;再次,在第三章中结合离散谱问题推导出两个微分-差分方程的无穷多守恒律;最后,在第四章中先给出广义耦合Broer-Kaup方程的一个新的第三类一次达布变换,然后通过已知的两类基本的达布变换与所求得的第三类一次达布变换进行比较,从而得到三类一次达布变换之间的关系,还进一步将广义耦合Broer-Kaup方程第三类一次达布变换推广到N次达布变换,作为此达布变换的应用得到了一些新的精确解,并利用软件画出解的图像。