以往,对于双曲率梁的研究多是基于线性分析,但是对于大变形问题,不能够建立线弹性模型,在研究中忽略非线性位移的影响,使得分析得到的结论和计算得到的结果都是不精确的。随着研究的深入,开始对双曲率梁进行几何非线性有限元分析,但是为了简化计算,通常假设曲率很小,在分析中仅取曲率的一次项,忽略了二次项以及更高次项的影响。另外,在曲梁的非线性有限元分析中,常以直梁单元代替曲梁,以直梁单元代替曲梁没有考虑曲梁轴向变形、弯曲变形以及扭转变形之间的相互耦合作用。在工程精度允许的范围内,很多曲梁的工程问题可以用直梁代替曲梁来近似求解,但是随着复合材料在工程结构中日趋广泛的使用以及结构的跨度越来越大,曲梁结构中出现了非线性特征较为明显的大变形问题和稳定问题,这就要求曲梁的非线性理论随之发展来解决这些问题。但目前尚缺乏对曲梁的复杂特性进行全面、精确的分析理论,使曲梁理论在工程结构中的应用受到较大的限制。为了更好地研究双曲率梁的真实力学行为,就必须建立反映双曲率梁特性的曲梁单元。对于双曲率梁,由于初始曲率的存在,导致内力引起的变形是耦合的,所以中性层的确定并非易事。材料力学中的形心主轴坐标系概念清楚,易于确定。本文应用张量理论,在双曲率梁的任意横截面上建立形心主轴坐标系来研究双曲率梁的几何变形关系。此外,在曲梁发生小转角变形的条件下可忽略变形前后横截面翘曲的影响,本文引入平截面直法线假设,即假定双曲率梁变形前后横截面始终保持为平面。本文推导的双曲率梁的力学基本方程都是基于平截面直法线假设而得到的。本文所做的工作主要有如下几个方面:(1)首先基于张量理论推导了任意双曲率梁在平截面直法线假设下的几何方程。包括双曲率梁的曲率-转角方程、转角-位移方程,推导建立了格林应变张量。最后,根据坐标转换关系,得到了在形心主轴坐标系下的双曲率梁的应变-位移关系的代数表达式和矩阵表达式。(2)推导了任意双曲率梁受线分布力和线分布力偶作用的平衡方程,从平衡矢量方程和边界条件出发,推导出以截面内力和截面独立位移表示的曲梁虚功方程,最后从广义胡克定律出发,推导了截面内力和截面位移之间的关系表达式。针对得到的双曲率梁在一般情况下的内力-位移方程,忽略曲率高阶性的影响,推导出不考虑剪切变形中非线性位移项影响的双曲率梁的弹性力学方程。(3)提出了计算螺旋曲梁位移的单位载荷法,在空间曲梁横截面上建立形心主轴正交曲线坐标系。基于等效截面法,求出曲梁任意截面上关于形心的内力主矢和主矩。利用单位载荷法求出曲梁截面上任意点的位移,并与材料力学中密圈螺旋弹簧的计算结果进行了比较。