现当代科学中最重要的问题之一是非线性问题,而其中的一个比较重要的研究方向是非线性方程的解,它是许多科学与工程计算领域内的核心问题.由于很难求出精确解,因此,研究数值迭代方法,获得可控制误差的近似解就成为目前需要解决的问题.非线性方程的数值解法在上世纪六十年代已经受到了人们的重视,并得到了快速的发展,而随着当前大型、快速、高精度电子计算机的出现,非线性方程的数值解法又成为当前研究的热点问题,并得到了很多快速高效数值迭代法.本文在总结前人研究成果的基础上,构造了一些高效的数值方法,并探讨了一些迭代法在Banach空间中的收敛性.主要贡献可以概括为以下内容：一、总结了前人研究成果1.迭代法的构造.在前人研究的基础上,总结和归纳了近几十年来发展得到的迭代法的构造技巧,主要有以下5种：线性逼近,积分插值Adomian级数分解Taylor展开以及多步迭代法等,并讨论了这些构造技巧的优缺点.2.迭代法的理论分析.迭代法的理论分析中应用最广泛的是不依赖于精确解的半局部收敛性分析.当前,以Newton-Kantorovich定理为基础,改进或减弱K条件,给出迭代法相应的半局部收敛定理,是迭代法理论分析的一个重点内容.本文总结了目前使用的各种弱条件,以及它们的证明方法：递归法和优界序列法,并给出了优界序列法在证明过程中所使用的优函数的函数类型和表达式.二、构造出3种一维实数空间中高效迭代法1.本文首先研究了Kanwar提出的一簇超线性收敛的类割线法,在此基础上,本文利用获得Halley和Cauchy迭代法的处理技巧,也得到了一簇具有超线性收敛性的改进割线法.该方法不需要求解函数的导数.收敛性分析表明,此方法的渐近收敛阶是(1+(?)5)/2,与Kanwar等人提出的方法相比较,本文给出的方法计算的精确度更高,效率指数也更高.数值例子也表明本文的算法是有效的.2.本文通过增加迭代步数的技巧,与经典的King-Werner方法相结合,以King-Werner方法作为预估因子,二次多项式为修正因子,构造出一类求解非线性方程的多步迭代法,理论分析表明其渐近收敛阶为1+(?)3.通过计算可知,该方法的效率指数比经典的King-Werner方法、Newton法等迭代法的效率指数高,可以提高计算效率,节省计算量.数值实例也表明该方法比Secant、Newton迭代法有效.3.将非线性方程f(x)=0表示为耦合系统,并Taylor展开,通过求解三阶Taylor多项式,得到了求解非线性方程的一种新的四阶迭代方法.通过效率指数的对比,本文给出的数值方法要比Newton迭代法和He通过求解二阶Taylor展开式表示的耦合系统所得到的迭代法有效,数值例子也说明了这一点.三、证明了Banach空间中3种迭代法的半局部收敛性本文给出了3种迭代法在Banach空间中半局部收敛性分析的研究成果,利用递归法(Recurrence Relations)在Lipschitz条件下,分别给出了调和平均Newton法和两种改进的5阶收敛的Newton法的半局部收敛性定理,给出了方程的解所存在的邻域以及解的存在唯一性理论,并给出各自的一个先验误差界,由此验证了这些方法的收敛阶.最后,通过数值例子表明本文所给出的递推关系是合理的.