反应扩散方程作为一种描述时空演变过程的模型，是数学科学与其他自然科学和社会科学联系的桥梁；另一方面，反应扩散方程由于时间和空间多维变量的存在，对数学也提出了许多挑战性的问题。其中渐近波速、行波解的存在性、平衡解的稳定性是三个重要的课题，具有强烈的实际背景和深刻的理论意义，引起了越来越多的数学家、物理学家、化学家、生物学家和社会学家的广泛关注。　　 近年来，自然科学与社会科学的许多学科中还提出了大量的与时滞方程有关的动力学问题，因此对时滞反应扩散系统的研究也十分值得关注。数学家、物理学家、生态学家和工程师们发现，对任何一个模型来说，时间的滞后可以是有限的或无限的，可以是离散的或分布的；状态的变化对于空间变量的依赖可以是局部（local）的，也可以是非局部（nonlocal）的，这实际上是考虑了系统状态与全空间分布和时间滞后分布的关系，即全局效应问题。所以具全局效应的反应扩散方程是本文的一个重要研究对象。本文的第二章研究了一个广泛的单稳的具全局效应的反应扩散系统，当该系统的反应功能项中的函数具拟单调性时得到了系统的渐近波速、行波解的存在性以及Neumann边值条件下常数平衡解的稳定性。具体地，在§2.2我们利用新近发展起来的单调半流理论研究了一个有限时滞系统的渐近波速和行波解的存在性，得到了一个阈值c*τ，它是该有限时滞系统的渐近波速和最小波速。在§2.3，我们先把时间滞后无限的反应扩散方程化为等价的抽象微分方程，利用抽象微分方程解的基本理论建立了方程解的存在性、唯一性和相应的比较原理。进一步地把功能反应函数分为两类：第一类是满足截断条件但不满足可微条件：第二类是满足可微条件但不满足截断条件。针对这两类条件，我们用不同的技巧和方法得到了c*=limτ→+∞c*τ，它就是时滞无限的nonlocal反应扩散系统的渐近波速和最小波速。§2.4我们用比较方法研究了时滞有限和时滞无限两种情形下，具全局效应的反应扩散系统在Neumann边值条件下正常数平衡解的稳定性。　　 捕食-被捕食模型描述了多个种群在一个共同的自然环境中共存以及它们之间的相互作用，在种群生态学的研究中占有相当重要的地位。而一些具扩散项的捕食-被捕食模型正是不具拟单调性的反应扩散系统。本文的第三章讨论了一个不具拟单调性但具有混合拟单调性的捕食-被捕食模型的平衡点的稳定性、连接两个互异甲衡点的行波解的存在性。在§3.2我们利用线性化和特征值分析的方法研究了无时滞系统各个平衡点的局部稳定性，然后结合Ⅴ函数及相应的偏微分不等式和分析技巧得到各个平衡点的全局稳定性。在§3.3我们把一个具时滞的捕食-被捕食模型看作具有混合拟单调性的系统，利用上、下解和迭代的方法来得到各个平衡点的全局稳定性。最后在§3.4我们利用打靶法，通过构造合适的Wazewski集和Ⅴ函数得到了无时滞模型连接两个平衡点的行波解的存在性，同时也得到了一个阈值。