【摘 要】
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本文运用拟谱方法和有限差分方法对几类非线性Schr（?）dinger/Gross-Pitaevskii方程的定解问题开展数值研究,提出多个稳定的高精度数值算法,并建立算法的最优误差估计,构造数值算例验证算法的可行性.本文主要内容总结如下:首先,本文数值研究了具有一般非线性项的Schr（?）dinger方程的Dirichlet初边值问题.先是构造了一个新的Sine拟谱算法,然后运用能量分析方法、数学
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本文运用拟谱方法和有限差分方法对几类非线性Schr（?）dinger/Gross-Pitaevskii方程的定解问题开展数值研究,提出多个稳定的高精度数值算法,并建立算法的最优误差估计,构造数值算例验证算法的可行性.本文主要内容总结如下:首先,本文数值研究了具有一般非线性项的Schr（?）dinger方程的Dirichlet初边值问题.先是构造了一个新的Sine拟谱算法,然后运用能量分析方法、数学归纳法、矩阵分析和若干逆不等式,在对网格比和初始值的大小没有任何限制的条件下,建立了算法的最优误差估计.其次,本文数值研究了时间分数阶非线性Schr（?）dinger方程的Dirichlet初边值问题.先是对时间分数阶导数运用L2-1σ格式离散,同时运用对称的有限差分格式对其它项进行离散,使得到的算法具有2阶精度,然后运用能量分析方法,结合数学归纳法与抬升技巧,给出了无网格比限制的最优H2误差估计.最后,本文数值研究了耦合Gross-Pitaevskii方程的Dirichlet初边值问题.先是提出了一个隐式有限差分格式,证明了该格式的唯一可解性,及在离散意义下的质量和能量守恒律.然后在对网格比没有任何要求的前提下,运用能量分析方法、光滑截断技巧以及抬升技巧,建立了算法在最大模意义下的最优误差估计.此外,本文还详细证明了适用于分数阶导数L2-1σ近似的Gronwall型不等式,该不等式对时间分数阶非线性Schr（?）dinger方程的算法分析起到关键的作用.
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