自从Atzner，Delbaen，Eber，Heath[1]的先驱性工作以来，超级对冲、不确定性问题和风险度量在金融界得到了越来越多的关注。同时，这也是新的随机计算理论的一个开端，给了我们一个新的角度去刻划和衡量各种各样的金融风险。受这些问题的驱动，彭通过非线性热方程引出了一种全新的非线性期望，就是我们现在所称呼的G-期望。和G-期望一起，彭同时介绍了G-正态分布，G-布朗运动的概念，并在此基础上介绍了由G-布朗运动驱动的随机分析理论。G-期望是一个次线性的期望，它与金融中的风险度量函数ρ的相关性体现在ρ(X)：=E[-X]定义了一个风险度量函数，这里X表示所有可能的风险资产。尽管G-期望只是代表了一种特殊的非线性期望，但是它在非线性期望理论中的重要性体现在非线性框架下的大数定律和中心极限定理中，文献可参考[40，41]。　　 本篇论文主要就是研究G-期望理论及其相关联的一些问题。首先，我们回忆g-期望是由倒向随机微分方程的解所引出的，并且g-期望完全由生成元函数g所决定。与g-期望相比，G-期望同样完全由非线性热方程函数G所决定，这样一来，我们就可以把函数G看成G-期望的生成元函数。在本篇论文中，我们首先给出了G-期望的比较和逆比较定理，继而我们研究了不同G-期望的一些组合产生的新期望和这些G-函数做相应组合之间的关系。彭首次在[40]中介绍了比G-正态分布更一般的概念，G-分布，它是G-正态分布的扩充，因为在G-分布的概念里，均值不确定性同时被刻画了出来。在G-分布这样一个概念的基础上，我们引入了G-分布期望这样一个概念，这样，我们就把在G-期望理论框架下的一些结果扩展到了G-分布期望的框架下。最后一章我们研究了在非Lipschtiz条件下由G-布朗运动驱动的随机方程解的存在唯一性。　　 这篇论文主要包括了四个章节的内容，下面我们就详细说明每个章节具体的结果：在第一章中，我们首先给出了G-期望的比较和逆比较定理；　　 定理1.3.1令Ei[·]，i=1，2是空间(Ω，H0)的两个G-期望，由(1.1)定义了其各自所对应的生成元函数()这样，下面的两个命题等价：1，()；2，E1[·]≤E2[·]。　　 注：从命题3.3.1和命题3.3.2，我们可以很容易的得到此定理在多维情况下的相应结果。　　 然后，我们给出了不同G-期望组合和其相应的生成元函数G做对应组合之间的关系，更详细的说，E1∨ E2[·]：=E1[·]∨ E2[·]和G1∨·G2(·)：=G1(·)∨ G2(·)之间，E1∧E2[`]：=E1[·]∧E2[·]和G1∧G(`)：=G1(·)∧G2(·)之间的关系。第一章的结果这样回答了我们：　　 命题1.3.2E1∨E2[·]是定义在空间(Ω，H0)中，比E1和E2都大的次线性期望中最小的。　　 如果()或者()中之一成立，这时E1∨E2[·]和E1∧E2[·]是两个G-期望，并且各自的生成元函数为G1∨G2(·)和G1∧G(·)，否则，E1∨E2[·]就不是一个G-期望，而E1∧E2[·]更不是一个次线性期望。　　 在第二章中，我们主要研究下面一个最优化问题：当其中的G-期望被风险度量函数替换下来的时候，这个模型被称作最优风险转移模型。E1 Karoui和Barrieu[2，3，4]首次研究了凸风险度量函数的情况，特别的是风险度量函数是由g-期望生成的情况。按照同样的方式，我们定义：这一章的主要目的就是介绍上面所定义的转换E1□E2[·]和G-期望EG1□G2[·]之间的联系。