近年来,随着应用领域中提出的众多问题,研究微分方程的解或者解的导数在区间内部不连续、边界条件依赖于谱参数的微分方程边值问题受到了越来越多研究者的关注.这些问题来源于许多物理问题甚至医学问题,例如具有结点的弦振动以及光的衍射问题等.这些实际的物理问题都可以转化为内部具有不连续性的微分算子问题来进行研究,为了处理这些问题的不连续性,通常的方法是在不连续点处加上转移条件,来刻画问题的解在不连续点处两侧的联系.本文将研究重点放在几类内部具有不连续性微分算子的谱分析上,研究内容主要包括两个部分:几类内部具有不连续性的微分算子耗散性、谱的离散性及特征展开问题,以及两类内部具有不连续性的高阶自伴微分算子特征值关于问题的依赖性.　　1969年,I.C.Gohberg和M.G.Krein在其著作“Introduction to the Theory of Linear Non-self-adjoint Operators”[49]中介绍了许多著名的定理,比如Krein定理、Liv?ic定理等,用于研究耗散算子的特征函数展开等问题.1970年,B.S.Pavlov[86]提出了一种新的方法来研究耗散算子的谱分析,这种方法是基于算子的自伴膨胀和相应的Sz.-Nagy-Foia(s)型判别函数的泛函模型,利用Lax-Phillips散射矩阵和判别函数之间的等价性研究算子的谱性质.　　借鉴上述方法,研究了一类内部具有不连续性奇异Surm-Liouville算子的耗散性.在一端点正则,另一端点为奇异极限圆的情形下,结合边界条件和转移条件,通过构造新的Hilbert空间,在新空间中将考虑的边值问题转化为算子形式,证明了这个算子是耗散算子,并且得到特征值的一些性质.通过构造满足方程和边界转移条件的解,得到了算子的特征值满足的判别函数.通过计算算子的格林函数,得到了其逆算子.利用Liv?ic定理,证明了边值问题的特征函数与连带函数组成的系统在空间中是完备的.　　利用Pavlov的方法,研究了边界条件依赖于谱参数奇异Dirac算子的耗散性以及特征函数展开问题.由于边界条件中含有谱参数,因此通常的Hilbert空间不再适合问题的研究.运用算子理论,定义了一个与边界条件中谱参数相关的新内积,在新的Hilbert空间中,将所考虑的边值问题转化为算子形式.证明了这个算子为最大耗散算子,构造了它的自伴膨胀.通过Lax-Phillips散射理论,确定了输入和输出谱表示,得到散射矩阵,构造了最大耗散算子的泛函模型,根据膨胀的散射矩阵确定了判别函数.基于Lax-Phillips散射矩阵和Sz.-Nagy-Foia(s)判别函数之间的等价性,以及判别函数理论,证明了所考虑问题谱的离散性以及特征函数与连带函数组成的系统的完备性.　　为了使研究的问题进一步深入,考虑了边界条件依赖于谱参数不连续奇异Dirac算子的耗散性以及特征函数展开问题.由于问题的不连续性,利用在不连续点处附加的转移条件,构造了与问题相关的新的Hilbert空间.在新的空间框架下,需要重新构造与问题相关的算子以及算子的自伴膨胀,这些都与转移条件的系数密切相关.通过修正的Pavlov的方法,得到了问题谱的离散性以及特征函数与连带函数所组成的系统的完备性等结论.　　文章还研究了一类不连续四阶梁振动方程的特征值问题.在几类特殊的边界条件下,证明了特征值不仅连续依赖而且光滑依赖于问题的参数.特别地,得到了特征值关于这些参数的微分表达式.　　特征值和特征函数关于问题依赖性的研究在微分算子理论中具有重要意义,它为特征值的数值计算提供了理论支撑.为了把上述结果推广到更一般的情况,文章研究了2n阶实对称不连续微分算子特征值关于问题的依赖性,证明了问题的每一个特征值都可以嵌入到一个连续的特征值分支中,特征值关于问题的参数是可微的.并且给出了特征值关于给定参数的微分表达式,特征值关于给定参数的单调性质可以由特征值关于该参数的导数得到.