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公钥密码体制的提出对现代密码学的发展做出了巨大的贡献，随着计算机技术的迅速发展，公钥密码已成为当代社会信息安全的核心。而随着量子计算机技术的发展，大部分密码体制都将面临严峻的安全挑战。因此，寻找在量子计算机环境下安全的密码算法，是现代密码学面临的紧迫而且是不可回避的难题，这也成为密码学领域的一个重要研究课题。根据现有的研究成果，对于许多格上的困难问题目前还没有有效的量子算法，因此，构造基于格上困难问题的密码方案，是密码学方向设计与分析的一个热点。 格密码是目前抗量子计算攻击的密码体制中最受关注的研究领域之一。在过去几十年中，基于格的密码体制由于具有以下几个特性而引起了广泛关注：（1）抗量子计算攻击；（2）算法简单、高效，具有可并行性；（3）安全性基于最坏情况问题；（4）可以设计功能更强大的密码算法。 本文主要围绕格基约化算法以及两类签名方案展开研究，其中环签名是基于格来研究的，而身份签名是基于传统的数学假设来研究的，并取得了以下成果： 第一，对BKZ算法进行了研究，BKZ算法是格基约化算法的一种，它是LLL算法的一种变形，并且从并行角度对BKZ算法进行变形，将LLL算法和ENUM算法进行结合，提出了一种并行BKZ算法，并给出了几种基于格挑战的数据表，包括Darmstadt的格挑战、SVP挑战等。 第二，对基于格的环签名方案进行了研究分析。环签名是一种新的匿名签名技术，因其特殊性而使得在日常生活中应用极其广泛。本文提出了一种新的基于格的环签名方案，并对该方案进行了安全性证明以及效率分析，该方案在SIS的困难假设下对适应性选择消息攻击是不可伪造的。 第三，我们基于强RSA假设、可计算的Diffie-Hellman问题对基于身份的签名方案进行了研究，基于身份的签名是将基于身份的密码体制与传统的数字签名技术相结合，这种技术简化了密钥的管理工作。首先，对WZ方案进行了改进，提出了一种基于强RSA假设的IBS，并对其进行了安全性证明，该方案在可适应选择消息攻击下是强不可伪造的，然后提出了一种新的基于身份的签名方案并对该方案进行了安全证明，最后对方案进行了变形使其具有消息恢复功能。