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本文在变分法的范畴下研究了问题(ρ)解的存在性(公式略)。我们一般把形式上类似于(ρ)的偏微分方程称为p(x)-Laplacian Dirichlet问题。该问题自提出以来一直是偏微分方程研究的热点,前辈数学家Ambrosetii-Rabinowitztt在研究椭圆型方程时提出(AR)条件,该条件成为了变分方法中的重要条件。对方程弱解存在性问题做出了回答时,很多时候都以该条件的存在作为前提条件, X.L.Fan等人把(AR)条件推广到了p(x)。本文在前辈学者专家打好的基础上进行了修改,也就是把经典的(A.R)条件移除,换成本文中所给出的6个条件,结合可变指数Sobolev空间基础知识,新的形变引理探讨,对问题(ρ)解的存在性问题做探讨。 本文结构如下:本文在第一章中主要介绍变分方法和可变指数Sobolev空间的一些基本定义和性质。本文在第二章中将着重证明两个确保Cerami条件成立的充分条件。本文将在第三章中,结合前面内容得出两个重要结论。