混沌最近已成为一个广泛的研究课题，在研究过程中，人们发现在混沌的过程中会出现一定的对称性。Carter等人利用迭代函数系统描述了17种平面晶体群的混沌吸引子的生成方法，之后许多学者在此基础上构造出更丰富的吸引子。Jeffrey等人描述了具有两种对称性的混沌吸引子的中间演化过程，并指出演化过程中会出现一些退化行为。Carter，Grimes，Clifford等也在Carter基础上，把对称群的混沌吸引子映射到极坐标上，得出漂亮的图形。 本文在17种晶体对称群的混沌吸引子的基础上，从以下4个方面考虑，利用计算机绘出更丰富的图形，为平面铺砌图案的设计开辟了新途径。 1．考虑一个具有晶体群对称的动力系统f(x, y)，平面上满足晶体群几何对称的点(x, y)，γ(x, y)在f(x, y)的作用下，其轨道分别为f~n(x, y)，f~n(γ(x, y))，n为整数，其中Υ为某晶体群中的元索，且f~n(γ(x, y))=γ(f~n(x, y))。该两轨道具有相同的性质，通过计算轨道相邻两点的距离来控制平面上点(x, y)的颜色(详见4.1节中的算法)，则(x, y)，γ(x, y)具有相同的颜色，因此可以生成具有晶体群对称的彩色拼贴图。 2．在混沌的研究中，非线性迭代函数系统起了非常重要的作用。本文把出现在一种群中的对称性引入到另一种群中，从而生成具有混合对称性的混沌吸引子，并且具有比单个函数迭代所生成的吸引子更丰富的局部对称性，因此本文的方法为平面铺砌图案的设计提供了一种新的途径。 3．同时本文也把对称群的混沌吸引子与分形的自相似性质相结合。选取一个基本计算区域，并使它在水平方向的平移形成了相同的复制，在垂直方向基本计算区域按比例加倍或减半，这取决于基本计算区域被移到相邻区域的上方或下方。因为坐标被加倍或减半时，产生的几何结构不变，所以用这种几何构造方法定义的上半平面结构是自相似的。这样便可利用计算机绘出具有自相似结构上半平面极限图，再利用映射和复变函数中保角映射把具有自相似性结构的混沌吸引子上半平面极限图映射成方极限，圆极限分形图。 4．本文通过把对称群的混沌吸引子绘到三个小正方形上，通过对小正方形的旋转变化，让这些正方形构成一个长方体，在旋转的同时正方形上的图形也做了相应的变化，这样就把对称群的混沌吸引子映射到三维物体上，制成漂亮的嵌图。