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著名的Lusternik-Schnirelmann定理断言S<2>上的任意Riemannian度量都具有3个简单无自交点的闭测地线.W.Klingenberg在其著作"Riemannian Geometry"(2ed Ed.)第3.7节中给出了这一定理的一个变分证明.我们在该论文中指出这一证明中关于S<2>上圆空间中的3个非平凡相对同调群的生成元的构造是错误的,并给出了这些生成元的显式构造.另外,我们还构造反例说明W.Klingenberg在有穷维空间上所作的形变收缩是不连续的,因而其证明是不完全的.