本文主要研究了完备Kahler流形上的Kahler-Ricci流的局部Harnack估计、完备流形上半线性抛物方程的Harnack不等式以及Ricci流下线性热方程的Harnack估计,并在此基础上对一些结论做了推广随着几何流理论的成熟,几何分析在近20年里得到了充分的发展,成为当前几何研究中的一个重要方向。在这方面最重要的结果是Perelman给出了一个关于Poincare猜想的证明的概要[34],曹怀东和朱熹平则给出了一个完整的证明[9]。几何流的Harnack不等式也称为Li-Yau-Harnack不等式,在几何分析中具有相当重要的意义。抛物方程的Harnack不等式起源于Moser在1964年的工作[32],他研究了线性散度型方程的情形。1986年,李伟光和丘成桐[30]用最大值原理得到流形上热方程的Harnack不等式,这是第一次将微分方程的Harnack不等式和微分几何结合起来。随后,Hamilton用同样的技巧得到了黎曼流形上一些非线性方程的Harnack不等式[18,19,21]。Chow在1991年计算了欧式空间中超曲面上的高斯曲率流的Harnack不等式[12]。1992年,曹怀东[6]得到了关于Kahler流形上的Kahler-Ricci流的Harnack不等式。Andrews用高斯映射的逆映射法得到一类欧式空间中超曲面上几何流的Harnack不等式[1]。近几年在该领域上也有一些很好的结果[8,10,28,29]。本文即在前人工作的基础上得到了一些结果及其推广：在第一章中,我们研究了n维完备Kahler流形上的Kahler-Ricci流的局部Harnack不等式及其推论。曹怀东在[5]中最早证明了Kahler-Ricci流方程整体解的存在性。作为Mok在[31]中的一个结论,我们知道在Kahler-Ricci流方程下可以保持Kahler流形双截面曲率的正则性。Mori[32]和萧荫堂以及丘成桐[38]则证明了任意的具有正的爽截面曲率的Kahler流形X双全纯同胚于复射影空间。最近,Hamilton证明了Ricci流的局部Harnack不等式,并由此得到Ricci流的Nonconic估计。在他的报告Curvature and Volume Bounds中使用这个估计证明了有限距离具有有限曲率。这在Poincare猜想证明中是很重要的一步。下面我们给出关于Ricci流的Nonconic估计。定理A(Hamilton的Ricci流中的Nonconic估计)：设是Ricci流方程的解,t∈[0,T),Mn为黎曼流形。U是Mn上的一个连通开集,且在U×[0,t0],t0<T上满足如下曲率条件：这里O∈U,若Mr2=C1,使得Br(O,t0)(?)U,则对和V∈TpM,我们有其中C>0,且只依赖于n和C1.在第一章中,我们对Kahler-Ricci流做了类似的研究,我们首先给出Kahler-Ricci流的方程在限定了一些曲率条件之后,我们得到了定理1.1.1和推论1.1.1及1.1.2。定理1.1.1.(Kahler-Ricci流的局部Harnack估计)：设是方程(1.1)的解,在Br(O,t)×[0,r2]上满足曲率条件：则我们有某个只与n有关的常数B>0,使得如下估计成立：设则对任意的t>0,ω∈Tx,ω≠0,我们有这里推论1.1.1.若是方程(1.1)的解,则数量曲率R满足估计：推论1.1.2(Kahler-Ricci流的Nonconic估计)：若是方程(1.1)的解,我们有如下的估计：其中C仅与n有关。在第二章中,我们给出了黎曼流形上半线性抛物方程的正解的Harnack估计,利用该估计我们可以得到一个积分形式的Harnack不等式。我们接下来研究完备黎曼流形上的半线性抛物方程这里函数V满足V=(x)+k(u).此类估计仍然有许多未解决的问题。我们希望通过利用一个梯度估计来得到方程正则解的Harnack估计。该方法最早在[11]和[40]中由Cheng.S.Y,丘成桐和Trudinger提出,用于解决椭圆方程的情况,此时解与时间无关。1986年,丘成桐和Peter Li在[30]中得到了线性抛物方程的正则解的Harnack估计。定理2.1.1.设M是一个完备带边流形。设p是M上一点,Bp(2R)是以p为球心2R为半径的测地球,且与M的边界(?)M没有交点。我们用-K(2R)(K(2R)≥0)表示测地球Bp(2R)的Ricci曲率的下界。设V是定义在M×(0,∞)上的C2,1函数。假设及这里θ(2R),γ(2R),M(2R)是定义在Bp(2R)×[0,T]上的常数。若u(x,t)是方程在M×(0,T]上的正则解,则对任意的a>1和c>0,我们在Bp(R)上有以下估计其中Ci是仅和n有关的常数。定理2.1.2.设M是一个完备带边流形。设p是M上一点,Bp(2R)是以p为球心2R为半径的测地球,且与aM没有交点。我们用-K(2R)(K(2R)≥0)表示测地球Bp(2R)的Ricci曲率的下界。设V是定义在M×(0,∞)上的C2,1函数,假设及这里θ(2R),γ(2R),M(2R)是定义在Bp(2R)×[0,T]上的常数。若u(x,t)是方程在M×(0,T]上的正则解,则对任意的a>1,0<t1<t2≤T,x,y∈Bp(R),我们有以下估计这里且这里inf为Bp(R)中所有连接y到x参数化为[0,1]上的道路。在第三章中,我们主要研究Ricci流下关于线性热方程的Harnack估计。利用该估计我们得到了一些结论,包括一个整体结果和一个积分形式的Harnack不等式。我们首先假设M是一个n维无边流形,是Ricci流方程的一个完备解。我们假定对所有的t∈[0,T]都有曲率一致有界,考虑定义在M×[0,T]上的函数u(x,t),我们假定u(x,t)满足方程这里记号△表示g(x,t)下的Laplace算子。这里需要强调的是△与t有关。我们有定理3.1.1.设是Ricci流方程(1.1)的一个完备解。假定Ric(x,t)|≤Kg(x,t)对某个K>0和所有的(x,t)∈Bρ,T成立。设u：M×[0,T]→R是一个正则光滑函数满足热方程(1.4),q(x,t)是一个定义在M×(0,T)上的C2,1函数,|△q|≤θ,则存在一个仅依赖于流形M维数n的常数C’满足以下估计这里且t≠0.定理3.1.2.假设M是Ricci流方程(1.1)的一个解。假定0≤Ric(x,t)≤kg(x,t),对k>0及所有的(x,t)∈M×[0,T]成立。设u：M×[0,T]→R是一个正则光滑函数满足热方程(1.4),q(x,t)是一个定义在M×(0,T)上的C2,1函数,且|△q|≤θ,我们对所有(x,t)∈M×[0,T]有估计定理3.1.3.设是Ricci流方程(1.1)的一个完备解。假定|Ric(x,t)|≤Kg(x,t)对某个K>0和所有的(x,t)∈Bρ,T成立。设u：M×[0,T]→R是一个正则光滑函数满足热方程(1.4),q(x,t)是一个定义在M×(0,T)上的C2,1函数,|△q|≤θ.给定α>1,我们有估计对所有的(x1,t1)∈M×(0,T)和(x2,t2)∈M×(0,T)使得t1<t2成立。