数据的维数约简是统计学与计算机科学的新兴交叉研究方向。它所关注的问题是如何将高维数据表示在低维空间中,并由此发现其内在结构。本文从维数约简的必要性出发,在理论、方法和应用三个层次上系统地研究了维数约简问题。具体而言,本文的主要的贡献如下:1.提出了维数约简的图优化框架。将维数约简问题分为“从数据到流形”、“从流形到图”和“图上的优化准则”三个有机的部分。从理论上分析了高维数据位于低维流形上这一假设的合理性,讨论了流形上特征描述和图上特征描述的关系,并对图上的优化准则进行了深入的探讨。最后,在此框架下,对典型的维数约简方法进行了分析。此框架的提出不仅对下文中的方法和应用研究提供理论指导,而且有利于加深人们对维数约简方法本质的认识。2.在图优化框架下,对局部维数约简方法不稳健的原因进行了深入分析,通过添加全局信息和核变换,提出了稳健局部维数约简方法的框架,并对一些具体的方法进行了改进。同时,提出了局部线性变换嵌入算法,通过对数据进行局部线性变换,提高了限制最小二乘问题求解的稳定性。与原始方法相比,本文方法对噪声和参数有较高的稳健性,更加符合实际应用需求。3.从图优化框架中的构图出发,研究了数据类型不同（单视图和多视图）以及先验信息不同（正标签与负标签）情形下的维数约简问题,提出了三种半监督维数约简方法。基于调和函数的半监督维数约简方法能够有效地“扩大”先验信息量,改善维数约简方法的性能。首次研究了多视图数据的半监督维数约简问题,提出了多视图数据的半监督维数约简方法。首次提出了负标签的概念,并给出了能够有效利用负标签信息的负标签传播算法。上述研究不仅将维数约简方法扩展至半监督学习领域,而且具有广阔的应用前景。4.针对图像分类和聚类问题,通过描述图像数据的空间光滑性以及子空间基的正交性等特有性质,并充分考虑图像数据的低维流形特征,在图优化框架指导下,提出了三种基于子空间的图像分类和聚类模型。基于光滑正交子空间的图像分类模型充分考虑了图像空间光滑性与子空间基的正交性约束;在考察迹比值准则优良性、聚类标识流形光滑性以及图像空间光滑性的基础上,提出了迹比值准则下的图像聚类模型;为了在求解子空间时考察数据的非线性结构信息,首次阐述了模式收缩的概念,并提出了基于模式收缩的图像聚类模型。上述模型的提出不仅是对子空间学习研究的深化,对于指导实际图像的处理也具有重要意义。5.研究了高维对应问题,在图优化框架指导下,提出了两种基于维数约简的高维对应模型。基于最大差异延展算法的高维对应模型充分利用了最大差异延展算法的优良性能,将最大差异延展算法进行了扩展。局部近似最大差异延展高维对应模型则更加注重解决高维对应问题的实效性,并在互联网跨系统推荐中得到了应用。本文提出的模型不仅是对维数约简方法研究的有益扩展,对于解决实际问题也具有重要的指导意义。总之,本文围绕数据维数约简问题,对理论、方法和应用中的一些关键问题开展了系统的研究,构成了完整的研究体系,促进了维数约简问题研究的发展。