【摘 要】
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不定方程和椭圆曲线是数论中重要的领域,研究不定方程整数解和椭圆曲线整点解的情况也是数论中一类重要的课题.对不定方程的研究可以追溯到古希腊的丢番图时期,一直到现在依然强烈地吸引着广大数论工作者的研究兴趣,研究不定方程的过程中所得到的理论、方法和成果具有重要的价值,是进一步研究复杂问题的基础.椭圆曲线的算术理论是二十世纪才产生和发展起来的,属于现代数论的重要分支,与现代数学的极其重要的分支代数几何有着
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不定方程和椭圆曲线是数论中重要的领域,研究不定方程整数解和椭圆曲线整点解的情况也是数论中一类重要的课题.对不定方程的研究可以追溯到古希腊的丢番图时期,一直到现在依然强烈地吸引着广大数论工作者的研究兴趣,研究不定方程的过程中所得到的理论、方法和成果具有重要的价值,是进一步研究复杂问题的基础.椭圆曲线的算术理论是二十世纪才产生和发展起来的,属于现代数论的重要分支,与现代数学的极其重要的分支代数几何有着十分紧密的联系.安德鲁维尔斯是椭圆曲线方面的顶尖数学家,他在证明费马大定理的过程中卓有成效地使用了椭圆曲线理论,使得椭圆曲线理论立即引起了大家的高度重视和热情研究,一直延续至今.本文通过对数论相关基础知识的学习以及参阅大量文献对上述两大内容进行了研究,主要研究成果如下:第一部分研究了形如x~3±8=Dy~2和x~3±1=Dy~2的四个不定方程的整数解的问题,并给出了它们的所有整数解.具体来说就是:x~3+8=19y~2仅有整数解（x,y）=（-2,0）,（62,±112）;x~3-8=13y~2有无穷多组整数解,其中当x为偶数时,仅有解（x,y）=（2,0）,（6,±4）,（626,±4344）,当x为奇数时,给出了整数解的具体公式;x~3-1=4781y~2仅有整数解（x,y）=（1,0）;x~3+1=5789y~2仅有整数解（x,y）=（-1,0）.第二部分研究了形如y~2=x~3+ax+b的四种类型的椭圆曲线,并对它们的整点解个数作出估计或给出了所有整点解.详细内容为:y~2=nx（x2+256）除（x,y）=（0,0）外至多有两个整数点;y~2=x~3+63x±134分别仅有整数点（x,y）=（-2,0）和（2,0）;y~2=x~3+75x-158仅有整数点（x,y）=（2,0）;y~2=x~3+325x-658仅有整数点（x,y）=（2,0）,（38,±258）.
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