进入21世纪后,金融市场飞速发展,投资者对金融风险的承受能力逐步增强。但是随着金融危机的爆发,让人们再次感受到金融市场具有很大的风险性,特别是在面临金融危机的时候。无论是企业债券、股票期权、信用卡贷款等等,都有一个共同的特点,具有信用风险。信用风险也称违约风险,是指借款人、债券发行人或交易对方因各种原因,不愿或无力履行合同条件而造成违约,致使银行、投资者或交易对方遭受损失的可能性。但是如何刻画这些信用风险,如何将这些信用风险降到最低,正是国家、社会、个人、投资者关注的焦点。本文尝试在B-S基本模型的基础上,利用偏微分方程的方法,研究与信用风险有关的企业债券、股票期权、信用卡贷款的违约模型,给出了模型的求解,并进行了一定的金融意义分析。信用风险的来源有多方面,主要分为两大类:第一种是借款人的履约能力出现问题;第二种是借款人的履约意愿出现问题,这主要是由借款人品格决定的。信用风险、信用违约定价的估计通常比较困难。目前世界上处理这类问题的方法主要是结构化方法和约化方法。本文首先在第一章中介绍信用风险,违约概率理论的产生、发展、现状以及本文所要解决的问题。近些年,公司融资的一个重要渠道就是发行企业债券,企业债券作为一种投资产品也具有信用风险。本文在第二章用偏微分方程的方法,研究当子公司违约时,母公司的公司债券的定价问题。在随机利率的假定下,利用约化的方法,对公司债券分时段进行分析,给出了母公司的公司债券的数学模型和显式表达式,并讨论了违约相关性的金融意义。本文的第三章是在跳扩散模型的基础上研究股票期权的定价问题。同样用偏微分方程的方法,研究当子公司违约时,母公司的股票期权的定价问题。在跳扩散的前提假设下,利用结构化方法,考虑违约期权的可提前到期性,分时段进行分析,给出了母公司期权定价的数学模型和解的表达式,并进一步给出了在利率是随机的情况下的股票期权的定价模型。又随着信用卡的逐步推广使用,信用卡业务已成为各银行拓展的零售业务之一,因此信用卡贷款是否得到有效偿还已经成为银行、社会、个人关注的焦点。信用卡虽然是一项高利润业务,但其所具有的风险也是所有信贷消费业务中最高的。本文第四章用偏微分方程的方法,研究当个人的信用卡贷款占个人资产价值的比重达到一定比例时,个人信用卡贷款的违约概率问题。利用结构化的方法,给出了违约概率所满足的偏微分方程的数学模型,并且利用差分的方法,对方程进行近似计算。第五章对全文结果进行总结并提出了展望。