【摘 要】
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自然对流方程组是大气动力学中的一个重要的方程组,包含非定常或定常,可压缩或不可压缩几种情形,在实际生活和工程应用中起到极其重要的作用.在本文中我们考虑不可压缩的非定常的情形,自然对流问题不仅是不可压缩和强非线性问题,而且是热方程和流体运动方程耦合在一起的问题,相比非定常的不可压缩的NavierStokes方程而言,它不仅仅多了一个未知温度函数,而且速度与温度之间存在着非线性的关系.使得求解这个问题
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自然对流方程组是大气动力学中的一个重要的方程组,包含非定常或定常,可压缩或不可压缩几种情形,在实际生活和工程应用中起到极其重要的作用.在本文中我们考虑不可压缩的非定常的情形,自然对流问题不仅是不可压缩和强非线性问题,而且是热方程和流体运动方程耦合在一起的问题,相比非定常的不可压缩的NavierStokes方程而言,它不仅仅多了一个未知温度函数,而且速度与温度之间存在着非线性的关系.使得求解这个问题的数值解变的十分困难.数值模拟自然对流问题经常遇到的直接困难是各个未知变量之间相互耦合,最终导致该问题全离散之后形成的线性方程组规模十分巨大,直接求解该线性方程组需要巨大的计算机内存而且耗费大量的时间.构造高精度和高效率的数值算法是十分有必要的.本文中,基于有限元方法,我们主要给出了两种二阶时间精度的数值格式对于求解非定常不可压缩的自然对流方程组并给出了理论分析与数值实验.具体研究安排如下所示:（1）我们首先考虑自然对流问题退化之后的一个简单问题:当温度等于零θ=0或者等于常数θ=c时,自然对流问题便退化成为我们常见的不可压缩的NavierStokes方程组.对具有Dirichlet边界条件的Navier-Stokes方程组,基于有限元方法,我们结合Crank-Nicolson Leap-Frog（CNLF）（（隐式-显式组合）是一个二阶时间精度的方法,被广泛用于大气和海洋流的耦合以及气候建模和预测）方法与Grad-Div（GD）稳定化方法给出了二阶时间精度的数值格式（标准的CNLF—GD）,而且在其基础上结合算子分裂法,给出了分步的二阶时间精度的数值格式（CNLF-FGD）,给出了相应的全离散的算法及其对应的稳定性与误差分析,并通过数值实验验证了这两个新格式的优势:在粘性系数ν变化时,可以很好地保持数值解的精度.（2）对于非定常不可压缩的自然对流方程在具有Dirichlet边界条件下,对这个耦合的方程直接运用CNLF方法,可以得到二阶时间精度数值格式.在这个耦合的格式中,速度,压力与温度这三个未知变量必须同时求出.为了更加高效地求解这个问题,我们将解耦的方法与CNLF方法结合,提出了解耦的CNLF数值格式.这个格式将原问题分解成两个子问题,求解每一个子问题都比原问题要容易的多.我们给出了数值格式的稳定性与误差分析,并通过数值实验验证了理论分析.（3）时间滤波法是一个有效地提高数值解的精度的方法.当初值满足一定的可行假设条件,相比一阶向后欧拉法,时间滤波向后欧拉法不仅可以提高数值解的精度从一阶到二阶,而且还可以减少数值解的杂散振荡,保持数值格式的稳定性.相比二阶向后欧拉方法它更容易实现.基于这个原因,我们给出了具有二阶时间精度的解耦的时间滤波向后欧拉方法去求解非定常不可压缩的自然对流方程,并给出相应的理论分析以及数值实验.
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