【摘 要】
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线性正则变换是经典傅里叶变换的推广,它可用来研究光学和工程中的许多实际变换,分数傅里叶变换,仿射傅里叶变换,广义菲涅尔变换,洛伦兹变换等都是线性正则变换的特例.与傅里叶变换和分数傅里叶变换相比,线性正则变换具有更多的自由度,更灵活.为研究线性正则变换的局部性质,引入窗口线性正则变换.窗口线性正则变换能够反映出局部性质,具有高分辨率,消除了交叉项,并且计算简单,故在实践中被广泛使用.从窗口线性正则变
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线性正则变换是经典傅里叶变换的推广,它可用来研究光学和工程中的许多实际变换,分数傅里叶变换,仿射傅里叶变换,广义菲涅尔变换,洛伦兹变换等都是线性正则变换的特例.与傅里叶变换和分数傅里叶变换相比,线性正则变换具有更多的自由度,更灵活.为研究线性正则变换的局部性质,引入窗口线性正则变换.窗口线性正则变换能够反映出局部性质,具有高分辨率,消除了交叉项,并且计算简单,故在实践中被广泛使用.从窗口线性正则变换中恢复原函数在理论和应用中都十分重要,受此激励我们研究窗口线性正则变换的逆变换公式.由于傅里叶变换是线性正则变换的一个特例,因此本文的结果也是窗口傅里叶变换逆变换公式的一个推广.函数空间和奇异积分算子理论在调和分析和偏微分方程中起重要作用.满足双倍测度条件的度量空间称为齐型空间,测度的双倍条件是经典调和分析中最重要的假设之一.后来人们发现若用另一个满足多项式增长条件的测度替换满足双倍条件的测度,即在非双倍测度空间中,许多结论依然成立.但是非双倍测度空间并不是齐型空间的推广,不具备更一般性.为此,Hytonen在2010年引入了非齐度量测度空间,这类空间同时包含了齐型空间和非双倍测度空间.另一方面,Calderón-Zygmund算子作为Hilbert变换和很多其他变换的推广,在很多研究中都十分重要.本文我们证明向量值Calderón-Zygmund算子在满足非原子条件的非齐度量测度空间上的有界性,从而进一步推广了Calderón-Zygmund算子的有界性.第一章,我们主要介绍研究背景、论文的基本内容、一些定义及符号.第二章,我们首先证明每个信号都可以从其窗口线性正则变换的单变量积分中恢复.对于1＜p＜∞,我们证明其中的积分在几乎处处意义下和Lp意义下均收敛.对于L~1函数,我们通过Cesaro求和方法得到相应结果.进一步,我们还证明了每个信号都可以从窗口线性正则变换的离散级数中恢复.我们引入两种形式的离散级数,对于第一种,当1＜p＜∞时,我们证明其中的离散级数在几乎处处意义下及Lp意义下均收敛.特别的对于p=2,我们给出一个级数收敛的充分必要条件.对于L~1函数,我们通过Cesaro求和方法得到相应结果.对于第二种,我们证明其中的离散级数在Lp意义下收敛,1＜p＜∞.第三章,我们首先介绍满足非原子条件的非齐度量测度空间,引入向量值Calderón-Zygmund核和向量值Calderón-Zygmund算子,并且给出了相关的基础知识.我们证明向量值Calderón-Zygmund算子从L~2（X,B1）到L~2（X,B2）有界等价于从L~1（X,B1）到L1,∞（X,B2）有界,和Lp（X,B1）到Lp（X,B2）有界,p∈（1,∞）.作为应用,得到了两个推论.
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