随着对生物神经元系统研究的深入，越来越发现其展现出极其复杂的非线性特征。对生物神经元系统非线性动力学行为的研究不仅有助于神经生理现象的机理研究，指导神经生理实验研究和神经医学、智能机器人等的应用，而且促进非线性动力学理论和方法的深入发展。因此，神经动力学研究有重要的理论意义和应用价值。由于耦合神经元系统的信号传递速度不可能是无限的，因而传输过程中不可避免地存在时滞，因此对时滞耦合神经元系统的动力学行为的研究是神经动力学的重要内容之一。本文从非线性动力学角度研究了时滞耦合神经元系统的几种分岔行为及同步，主要工作如下：　　 (1)第二章以时滞为分岔参数研究了时滞耦合FitzHugh-Nagumo(FHN)神经元系统的简单Hopf分岔，采用中心流形约化方法和规范型方法分析了Hopf分岔的方向和分岔出的周期解的稳定性，给出了判别的充分条件；运用全局Hopf分岔理论讨论了分岔出的周期解在参数大范围内的存在性。数值模拟证明了理论分析的正确性。　　 (2)第三章考虑了时滞耦合FHN神经元系统中突触连接为非线性时系统的Bautin分岔(又称为广义Hopf分岔(Generalized Hopf bifurcation))。当耦合系统中突触连接为非线性时，突触的存在不影响系统静息态的稳定性，但可能会造成系统中Hopf分岔的退化(Bautin bithrcation)。第三章首先采用Lyapunov泛函方法研究了耦合系统发生完全同步的充分条件，然后为耦合强度为分岔参数，运用时滞微分系统的Bautin分岔理论讨论了完全同步系统发生Bautin分岔的充分条件。给出了原系统参数平面上的Bautin分岔图。数值结果说明了理论分析的正确性。　　 (3)第四章以系统耦合强度为分岔参数研究了时滞耦合FHN神经元系统的静态分岔(steady state bifurcation)。首先，通过特征根理论得到了耦合系统发生静态分岔的充分条件，然后利用中心流形约化和规范型方法发现时滞耦合系统中既可以发生Pitchfork分岔又可以发生Transcritical分岔。并通过数值分析发现时滞对静态分岔也能产生本质的影响。　　 (4)第五章在第四章研究的基础上讨论了Transcritical分岔和Hopf分岔相互作用时滞耦合FHN系统的动力学行为(Zero-pair分岔)。通过对原系统中心流形上规范型的分析，给出了系统在以时滞和耦合强度为分岔参数的分岔图，并数值模拟发现了系统中类似Bursting的动力时程曲线。文中对这种情况出现的原因给出了简单的分析说明。　　 (5)第六章提出了一种新的方法来研究时滞耦合Hindmarsh-Rose(HR)系统的完全同步问题。该方法尤其适合从理论上分析时滞对耦合系统完全同步的影响。通过对一个例子的分析从理论上解释了为什么在某些情况下时滞对耦合HR系统的完全同步是有促进作用的。而目前文献中对这种现象的描述仅仅停留在数值层面。