近年来,四阶椭圆偏微分方程的研究越来越受到重视.一方面是由于四阶椭圆方程在几何、物理、机械工程等方向得到了广泛的应用,如几何中的Willmore曲面方程和Paneitz算子,生物物理中的Hilfrich模型,经典力学中的夹板振动模型等.另一方面,四阶椭圆方程和二阶椭圆方程的性质有很大的不同.例如,四阶椭圆方程一般不再满足极值原理.所以从数学上说,这给我们带来了一些困难,同时也带给我们一些新的数学现象.在本文中,我们主要讨论几类四阶椭圆方程的性质.在本文的第一部分内容中,我们考虑方程Δ（|x|-αΔw）+Adiv（|x|α-2（?）u）+μ|x|-α-4u=|x|βup 在Rn\{0}中,这里 n ≥ 5,-n＜α＜n-4,p＞1 且（p,α,β,n）属于临界双曲线我们证明了对某些λ和μ,上述方程径向正解的存在性,并且我们通过Emden-Fowler变换v（t）:=|x|n-4-α/2u（|x|）,t=-ln |x|将这样的径向正解分成了三类.另一方面,如果α ∈（-2,n-4）并且λ,μ满足某些条件,则对于上述方程的以原点为其不可去奇点的径向解u,v（t）关于t是周期函数;而当α ∈(-n,-2]时,存在上述方程的一个具有不可去奇点的径向解,它所对应的v（t）不是周期函数.此外,我们还得到了一些关于最佳常数和对称破缺的结果.在本文的第二部分内容中,我们研究方程的Dirichlet特征值的估计问题,这里Ω是Rn中包含原点的有界光滑区域,n≥4,μ≥μ0:=-n2（n-4）2/16.设{λμ,i}i∈N满足0＜λμ,1≤λμ,2≤…≤λμ,k≤…是上述方程的特征值,我们给出第k个特征值的下界估计和第k+1个特征值的上界估计.在本文的第三部分内容中,我们证明了关于方程Δ2u=|u|p-1u+|x|a|u|q-1u 在Rn中的光滑稳定解的Liouville-型定理,这里n ≥ 5,a ≥ 0,q ∈（1,qc（n））（qc（n）的定义将在稍后给出）且p,q满足4/p-1=4+a/q-1.我们首先证明一个关于上述方程的解u的单调公式,然后证明上述方程的齐次稳定解的不存在性.最后通过一些积分估计和单调公式,我们证明上述方程光滑稳定解的不存在性.