本文研究了分形几何中的四个基本问题:分形的测度和维数,Lipschitz等价性以及单矩阵图递归自仿迭代函数系和代数图递归迭代函数系的共轭系统。确定分形集的Hausdorff测度的准确值是分形几何中一个基本然而非常困难的问题。迄今为止,人们仅能确定一些维数小于1或者是整数维的分形集的Hausdorff测度,而对于维数s > 1且s非整数的分形集合的Hausdorff测度没有任何结果。其困难在于缺乏一般的工具,从而需要非常精细的估计。我们利用Moran集的变尺度结构构造了一类维数在1与2之间的Moran集,称为圆形Moran集,从而可以利用等周不等式,在改进先前的一些技巧的基础上,获得更为精确的估计,并由此确定了这类集合的Hausdorff测度。集合之间的Lipschitz等价性是几何测度论中的一个核心问题,有很强的挑战性,见David和Semmes[14]以及Falconer[20][21]等。寻求有效的Lipschitz不变量是大家极为关心的一个问题。我们引入集合的δ-连通性,进而定义了Rd中的紧集的间隔序列,揭示出间隔序列、分形维数与Lipschitz等价性之间的关系。在此基础上,得到了由间隔序列刻画的一个新的Lipschitz不变量,它比经典的上盒维数不变量更为精细与方便。自仿集的结构是动力系统和分形几何中最困难的问题之一,目前只有一些零星的结果,此方面的任何进展都会引起人们的关注。He与Lau借助关于欧氏空间中的一个伪度量的Hausdorff测度和维数,讨论了一类单矩阵的自仿迭代函数系的开集条件。通过更为精细的估计,我们将上述结果推广到更一般的图递归自仿迭代函数系上,从而可以将这些结果应用到原子表面的分形结构的研究中。参数为代数数的图递归迭代函数系所诱导的动力系统是目前最活跃的研究对象之一,主要集中在β-数系统tiling结构与通过投影产生的原子表面结构。我们通过参数的代数共轭引入共轭迭代函数系统,它与原始系统共享许多重要性质,包括开集条件。这种新的观点与方法统一了上述两类研究,而且更为有力。