不变量、轨道的渐近形态是动力系统的两个重要研究课题.不变量主要包含拓扑不变量和渐近不变量.轨道的渐近形态包含两层含义:一是轨道的极限集的构成和大小（Lebesgue测度,Hausdorff维数）,二是轨道趋近于其极限集的方式.本文对动力系统中的这两个主题进行了研究:第一,我们研究了连续时间的动力系统的周期轨道条数的增长率这一渐近不变量与系统的拓扑熵这一拓扑不变量之间的关系;第二,在某一类给定的离散动力系统（β-动力系统）中,我们刻画了点的轨道按照某种速率逼近给定点的集合的大小.我们第一个方面的研究建立了C¹-通有的向量场的周期轨道条数的增长率与其拓扑熵之间的关系:周期轨道条数的增长率大于或等于拓扑熵.这个结论将Katok的关于C^1+α（α>0）曲面微分同胚的周期轨道条数的增长率与其拓扑熵之间的关系推广到了任意维的C¹-通有的向量场.相比较离散时间的动力系统,我们需要处理奇点和修剪流所带来的困难.通过估计周期轨道的周期与回复轨道的回复时间的差别,我们对廖山涛追踪引理这一基本工具,给出了一点改进.在第二个方面的研究中,我们考虑经典的定义在[0,1]上的β-变换（β>1）:其中·表示取整函数.对于定义在自然数集上的两个实正函数ψ₁和ψ₂,用L（ψ₁）表示区间[0,1]中的所有满足性质:存在无穷多个正整数n∈N,使得（?）成立的点x组成的集合.用U（ψ₂）表示区间[0,1]中的所有满足性质:对于充分大的N,不等式（?）有一个小于或等于N的解n的点x组成的集合.假设（?）（相应的,（?））是以β为底的ψ₁（n）的对数的相反数除以n的下极限（相应的,上极限）.符号（?）和（?）表示用函数ψ₂代替函数ψ₁所得到的下极限与上极限.从Philipp的结果来看,如果级数ψ₁（n）（?）(相应的,（?）收敛,那么集合L（ψ₁）（相应的,U（ψ₂））的Lebesgue测度为零.我们计算这些集合的Hausdorff维数.集合L（ψ₁）的Hausdorff维数已经被找到并且维度公式完全由（?）决定.我们研究了集合L（ψ₁）和U（ψ₂）的交集的Lebesgue测度和Hausdorff维数,并使用（?）和（?）给出了刻画.作为推论,我们得到了集合U（ψ₂）的Lebesgue测度和Hausdorff维数的严格估计,并使用（?）和（?）给出了刻画.Bugeaud和Liao的结果只考虑了ψ₁和ψ₂都是指数函数的特殊情况,我们的结果将ψ₁和ψ₂推广到一般的正函数.