论文部分内容阅读
1893年Picard用逐次逼近法在Lipschitz条件下给出了微分方程初值问题解的存在唯一性定理的证明。将同伦的概念联系到Picard的证明中构造的Picard序列。Picard序列的函数都是由I到R的映射，那么该序列中的各点之间是否具有同伦关系，如果Picard序列的各点之间都具有同伦关系，那么是否可以藉助于连续映射的同伦的性质来给微分方程初值问题解的存在唯一性以肯定？藉此以广，除微分方程的解外，方程的根、曲线的切线、点列的极限、积分的逼近等诸如此类的序列逼近的极限问题，是否都可以通过构造同伦序列来给原序列的极限的存在和唯一性等性质以论证？本文首先简单讨论了同伦概念的代数上与拓扑上的若干性质。为映射在直和分解下的微分作了仔细的数学准备。证明了在空间作直和分解下的若干收敛命题，为连续同伦方法充分条件的一个可能的实现奠定收敛基础。由于平面内任意两条连续的曲线都是同伦的，这样从本课题的选择初衷来看，引发课题的来源是平凡的。课题行文中也得到了一些饶有意义的结果，沿着连续同伦方法思想的方向，作了收敛上的准备，并证明了一个充分性条件。举例说明了同伦的思想在变分方法中的体现，以及在微分方程求解中的应用，展示了同伦方法的优越性所在，使得某些不可能或很难进行的工作可以得到简化的处理。